Diskis

Eli Yliopisto ja ensimmäinen kurssi menossa kyseistä aihetta.

todistuksen?

näyttää kirjoitti:

todistuksen?

Kopioin tämän version facebook-sivultani. Mutta kuten hienoon teoreemaan kuuluu, todistuksia on monia erilaisia. Ja lisäkysymyksiä sitäkin enemmän.

Theorem: For any collection of points in a plane, not all on the same line, there is always a pair of points such that the line through them does not pass through any third point.

Proof: Consider all lines through pairs of points, and all distances between such lines and points outside them. Pick a line L and a point P that minimise this distance.

We will show that L doesn't pass through a third point.

Suppose it did. Then two of the three points on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the perpendicular from P to L (if we include the intersection point). Suppose Q2 is further from the perpendicular than Q1.

Let L' be the line P-Q2. But now Q1 is closer to L' than P is to L. (To see this, draw the picture to note that we have formed two similar triangles, one inside the other.)

This contradicts the minimality of the chosen distance. QED

nkorppi kirjoitti:

Kopioin tämän version facebook-sivultani. Mutta kuten hienoon teoreemaan kuuluu, todistuksia on monia erilaisia. Ja lisäkysymyksiä sitäkin enemmän.

Theorem: For any collection of points in a plane, not all on the same line, there is always a pair of points such that the line through them does not pass through any third point.

Proof: Consider all lines through pairs of points, and all distances between such lines and points outside them. Pick a line L and a point P that minimise this distance.

We will show that L doesn't pass through a third point.

Suppose it did. Then two of the three points on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the perpendicular from P to L (if we include the intersection point). Suppose Q2 is further from the perpendicular than Q1.

Let L' be the line P-Q2. But now Q1 is closer to L' than P is to L. (To see this, draw the picture to note that we have formed two similar triangles, one inside the other.)

This contradicts the minimality of the chosen distance. QED

missä P on janalla L?

tapaus, kirjoitti:

missä P on janalla L?

melko turha.

nkorppi kirjoitti:

Kopioin tämän version facebook-sivultani. Mutta kuten hienoon teoreemaan kuuluu, todistuksia on monia erilaisia. Ja lisäkysymyksiä sitäkin enemmän.

Theorem: For any collection of points in a plane, not all on the same line, there is always a pair of points such that the line through them does not pass through any third point.

Proof: Consider all lines through pairs of points, and all distances between such lines and points outside them. Pick a line L and a point P that minimise this distance.

We will show that L doesn't pass through a third point.

Suppose it did. Then two of the three points on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the perpendicular from P to L (if we include the intersection point). Suppose Q2 is further from the perpendicular than Q1.

Let L' be the line P-Q2. But now Q1 is closer to L' than P is to L. (To see this, draw the picture to note that we have formed two similar triangles, one inside the other.)

This contradicts the minimality of the chosen distance. QED

rakentaa olemassaolotodistuksen sijaan konstruktiivinen todistus?

kuinka vaikeaa kirjoitti:

rakentaa olemassaolotodistuksen sijaan konstruktiivinen todistus?

minimoida pisteen ja janan välinen etäisyys, kun oletukset ovat samat kuin yo. todistuksessa. Todistuksen mukaan L ei sisällä kolmatta pistettä.

Otetaanpa esimerkiksi reaalitason R^2 pistejoukko {(0,0), (1,0), (2,0)}. Mikä on nyt se pistepari, jonka kautta vedettävällä suoralla ei ole kolmatta joukon pistettä?

kuinka vaikeaa kirjoitti:

rakentaa olemassaolotodistuksen sijaan konstruktiivinen todistus?

... rakentaa konstruktiivista todistusta kysymykseen, joka koskee kaikkia mahdollisia äärellisiä pistejoukkoja.

Sen sijaan pisteen ja suoran ei-negatiivisen etäisyyden minimoiminen antaa halutun suoran, kuten todistettiin.

menee? kirjoitti:

Otetaanpa esimerkiksi reaalitason R^2 pistejoukko {(0,0), (1,0), (2,0)}. Mikä on nyt se pistepari, jonka kautta vedettävällä suoralla ei ole kolmatta joukon pistettä?

... sanookin, että joko kaikki pisteet ovat samalla suoralla TAI on olemassa tasan kahden pisteen läpi kulkeva suora.

menee? kirjoitti:

Otetaanpa esimerkiksi reaalitason R^2 pistejoukko {(0,0), (1,0), (2,0)}. Mikä on nyt se pistepari, jonka kautta vedettävällä suoralla ei ole kolmatta joukon pistettä?

todistuksen pääpiirteittäin suomeksi, korjatkaa virheet:

Lause: Missä tahansa tason pistejoukossa, jossa kaikki pisteet eivät ole samalla janalla, on aina pistepari, joiden kautta piirretyllä janalla ei ole kolmatta pistettä.

Tod: Ajatellaan jana kaikkien pisteparien välille ja kaikkien sellaisten janojen etäisyys niiden ulkopuolisista pisteistä.
Valitaan jana L ja piste P, joka minimoi tämän etäisyyden. Osoitamme, että janalla L ei ole kolmatta pistettä.
Vastaoletus: janalla L on kolmas piste. Silloin kaksi kolmesta L:n pisteestä, Q1 ja Q2, ovat samalla puolella kohtisuoraa janaa P-L(jos otamme mukaan leikkauspisteen). Oletetaan, että Q2 on kauempana kohtisuorasta kuin Q1. Olkoon L' jana P-Q2. Mutta nyt Q1 on lähempänä janaa L' kuin P on janaa L.(Nähdäksesi tämän, piirrä kuva. Huomaa, että olemme muodostaneet kaksi sisäkkäistä, yhdenmuotoista kolmiota.) Tämä on ristiriita valitun etäisyyden "minimaalisuuden" kanssa. MOT

nkorppi kirjoitti:

Kopioin tämän version facebook-sivultani. Mutta kuten hienoon teoreemaan kuuluu, todistuksia on monia erilaisia. Ja lisäkysymyksiä sitäkin enemmän.

Theorem: For any collection of points in a plane, not all on the same line, there is always a pair of points such that the line through them does not pass through any third point.

Proof: Consider all lines through pairs of points, and all distances between such lines and points outside them. Pick a line L and a point P that minimise this distance.

We will show that L doesn't pass through a third point.

Suppose it did. Then two of the three points on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the perpendicular from P to L (if we include the intersection point). Suppose Q2 is further from the perpendicular than Q1.

Let L' be the line P-Q2. But now Q1 is closer to L' than P is to L. (To see this, draw the picture to note that we have formed two similar triangles, one inside the other.)

This contradicts the minimality of the chosen distance. QED

Pakko antaa hieman kritiikkiä, koska tämä on matematiikkapalsta eikä mikään käsienheluttelupalsta.

> Theorem: For any collection of points in a plane,
> not all on the same line, there is always a pair
> of points such that the line through them does not
> pass through any third point.

Minkälaisessa geometrisessa avaruudessa tässä ollaan? Päteekö tuo muissakin kuin euklidisissa avaruuksissa? Missä niistä, tuskin kaikissa? Mitä tarkoitat "suoralla", ilmeisesti geodeesia?

> Suppose it did. Then two of the three points
> on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the
> perpendicular from P to L (if we include the
> intersection point). Suppose Q2 is further from
> the perpendicular than Q1.

Miten määrittelet kohtisuoruuden? Oletko ihan varma, että esimerkiksi riemannilaisen geometrian mielessä kohtisuoruudesta seuraa nuo asiat mitä todistuksessa oletat (mutta et mainitse)? Et kai vain oleta avaruutta kaiken lisäksi Hilbert-avaruudeksi (tai Banach-) jollain annetulla sisätulolla?

Jos kyse oikeasti on euklidisesta avaruudesta sillä standardimetriikalla niin teoreema on kyllä trivialiteetti.

dx2 kirjoitti:

Pakko antaa hieman kritiikkiä, koska tämä on matematiikkapalsta eikä mikään käsienheluttelupalsta.

> Theorem: For any collection of points in a plane,
> not all on the same line, there is always a pair
> of points such that the line through them does not
> pass through any third point.

Minkälaisessa geometrisessa avaruudessa tässä ollaan? Päteekö tuo muissakin kuin euklidisissa avaruuksissa? Missä niistä, tuskin kaikissa? Mitä tarkoitat "suoralla", ilmeisesti geodeesia?

> Suppose it did. Then two of the three points
> on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the
> perpendicular from P to L (if we include the
> intersection point). Suppose Q2 is further from
> the perpendicular than Q1.

Miten määrittelet kohtisuoruuden? Oletko ihan varma, että esimerkiksi riemannilaisen geometrian mielessä kohtisuoruudesta seuraa nuo asiat mitä todistuksessa oletat (mutta et mainitse)? Et kai vain oleta avaruutta kaiken lisäksi Hilbert-avaruudeksi (tai Banach-) jollain annetulla sisätulolla?

Jos kyse oikeasti on euklidisesta avaruudesta sillä standardimetriikalla niin teoreema on kyllä trivialiteetti.

Kaikki teoreemat ovat trivialiteetteja, kunhan ne on ensin osannut todistaa.

Voin kertoa, että alkuperäinen todistus ei todellakaan ole ihan näin suoraviivainen. Siksi onkin erityisen hienoa, että jotain näin 'triviaalia' keksittiin.

Kysymys on mielenkiintoinen ratkaisemattomien lisäkysymysten vuoksi. Ehkä niistäkin tulee jonain päivänä triviaaleja.

dx2 kirjoitti:

Pakko antaa hieman kritiikkiä, koska tämä on matematiikkapalsta eikä mikään käsienheluttelupalsta.

> Theorem: For any collection of points in a plane,
> not all on the same line, there is always a pair
> of points such that the line through them does not
> pass through any third point.

Minkälaisessa geometrisessa avaruudessa tässä ollaan? Päteekö tuo muissakin kuin euklidisissa avaruuksissa? Missä niistä, tuskin kaikissa? Mitä tarkoitat "suoralla", ilmeisesti geodeesia?

> Suppose it did. Then two of the three points
> on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the
> perpendicular from P to L (if we include the
> intersection point). Suppose Q2 is further from
> the perpendicular than Q1.

Miten määrittelet kohtisuoruuden? Oletko ihan varma, että esimerkiksi riemannilaisen geometrian mielessä kohtisuoruudesta seuraa nuo asiat mitä todistuksessa oletat (mutta et mainitse)? Et kai vain oleta avaruutta kaiken lisäksi Hilbert-avaruudeksi (tai Banach-) jollain annetulla sisätulolla?

Jos kyse oikeasti on euklidisesta avaruudesta sillä standardimetriikalla niin teoreema on kyllä trivialiteetti.

... muuten väitöskirjaa matematiikan saralla ja voin kertoa, että yleensä oletamme että taso on perinteinen euklidinen reaalitaso, metriikka on stnadardi ja 'suora on suora', ellei erikseen mainita. Emme ole mitään kiukuttelevia tiukkapipoja -- vaan haluamme suuren yleisönkin ymmärtävän puhettamme. Erityisesti Matematiikka-Foorumilla.

dx2 kirjoitti:

Pakko antaa hieman kritiikkiä, koska tämä on matematiikkapalsta eikä mikään käsienheluttelupalsta.

> Theorem: For any collection of points in a plane,
> not all on the same line, there is always a pair
> of points such that the line through them does not
> pass through any third point.

Minkälaisessa geometrisessa avaruudessa tässä ollaan? Päteekö tuo muissakin kuin euklidisissa avaruuksissa? Missä niistä, tuskin kaikissa? Mitä tarkoitat "suoralla", ilmeisesti geodeesia?

> Suppose it did. Then two of the three points
> on L, say Q1 and Q2, lie on the same side of the
> perpendicular from P to L (if we include the
> intersection point). Suppose Q2 is further from
> the perpendicular than Q1.

Miten määrittelet kohtisuoruuden? Oletko ihan varma, että esimerkiksi riemannilaisen geometrian mielessä kohtisuoruudesta seuraa nuo asiat mitä todistuksessa oletat (mutta et mainitse)? Et kai vain oleta avaruutta kaiken lisäksi Hilbert-avaruudeksi (tai Banach-) jollain annetulla sisätulolla?

Jos kyse oikeasti on euklidisesta avaruudesta sillä standardimetriikalla niin teoreema on kyllä trivialiteetti.

... tietysti teoreema pätee myös duaalisuuden vuoksi myös sellaisessa avaruudessa kuin 'real projective plane'. En tiedä suomenkielistä nimeä. Helppo todistaa.

Lisää tietoa aiheesta: http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester–Gallai_theorem

nkorppi kirjoitti:

... muuten väitöskirjaa matematiikan saralla ja voin kertoa, että yleensä oletamme että taso on perinteinen euklidinen reaalitaso, metriikka on stnadardi ja 'suora on suora', ellei erikseen mainita. Emme ole mitään kiukuttelevia tiukkapipoja -- vaan haluamme suuren yleisönkin ymmärtävän puhettamme. Erityisesti Matematiikka-Foorumilla.

Jep, usemmiten tosiaan puhutaan euklidisesta avaruudesta, mutta voisi tulla hieman vastaväittäjältä sanomista jos unohtaisi tuollaisessa yhteydessä väikkärissä mainita minkälainen avaruus on kyseessä. :)

On totta, että tällaiset maininnat tuntuvat välillä hieman turhilta, mutta toisaalta niin maapallomme pinta kuin aika-avaruutemmekin ovat enemmän ei-euklidisia kuin euklidisia (fysiikan perinteisen formalismin kannalta).

Itsekin vasta pitkästi tuon vastaavan kirjan jälkeen törmäsin ei-euklidisiin geometrioihin ja huomasin kuinka erilaisia ne avaruudet ovat Hilbert- ja muihin lineaarisiin avaruuksiin verrattuna. Ja kuinka tärkeitä fysiikassa.

dx2 kirjoitti:

Jep, usemmiten tosiaan puhutaan euklidisesta avaruudesta, mutta voisi tulla hieman vastaväittäjältä sanomista jos unohtaisi tuollaisessa yhteydessä väikkärissä mainita minkälainen avaruus on kyseessä. :)

On totta, että tällaiset maininnat tuntuvat välillä hieman turhilta, mutta toisaalta niin maapallomme pinta kuin aika-avaruutemmekin ovat enemmän ei-euklidisia kuin euklidisia (fysiikan perinteisen formalismin kannalta).

Itsekin vasta pitkästi tuon vastaavan kirjan jälkeen törmäsin ei-euklidisiin geometrioihin ja huomasin kuinka erilaisia ne avaruudet ovat Hilbert- ja muihin lineaarisiin avaruuksiin verrattuna. Ja kuinka tärkeitä fysiikassa.

... fysiikasta, enkä väitä etteikö diskreetillä matikalla olisi yhteyksiä siihenkin, mutta yleensä diskreetissä matikassa ei todellakaan huolehdita tämmöisistä (korkeintaan pieni maininta tutkimuspaperin alkuun).