Ajatellaan, että maapallon läpi menee putki josta poistetaan ilma ettei tule ilmanvastusta. Nyt putken toisesta päästä pudotetaan teräskuula. Kysymys: missä ajassa kuula kääntyy tulemaan takaisin pudotuspaikkaa? Ja kuinka lähellä se käy vastakkaista maan pintaa? Oletetaan, että maapallo on halkaisijaltaan 400 t/km.
Putki
maapallon läpi
341925
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 34
Vanhimmat
>Oletetaan, että maapallo on halkaisijaltaan 400 t/km.
Miksi noin pitäisi olettaa? Kaikkihan tietävät, että maapallon läpimitta on 13 000 km.
Miksi pallo tulee melkein toiselta puolen näkyviin, koska hänen mielestään ei ole vetävää painovoimaa ensinkään.
Tämä esimerkkihän parhaiten kuvaa vetävän vetovoiman olemattomuuden. Pallo asettuu keskelle joten savorisen väite työntävästä on aivan järkevä.
Savorisen ajatus perustuu ilmeisesti materian ulkopuolella vaikuttavaan voimaan ja pienemmän paineen ajatteluun.
ajassa.
Maapallon pyöriminen, coriolisvoima ja muut seikat aiheuttanevat sen, että kuulasi jää jonnekkin välille törmäiltyään aikansa putken seiniin. Pelkkä ilman poistaminen putkesta ei riitä aiheuttamaan suoraviivaista liikettä maapallon sisällä olevassa putkessa.
on nimenomaan ainoa mahdollinen putken suhteen.
Kysy vaikka äitiltäs.
Pallolla on sivuttaisnopeutta maapallon pinnan liikenopeuden verran. Nyt kun pudotat pallon, niin se nopeus säilyy ja jo pian hitaammin liikkuva maapallon sisäosa ottaa kiinni palloon.
Jos pallon haluaisi pitää irti reiän seinistä, niin silloin reikä pitäisi porata kaarevaksi.
http://www.youtube.com/watch?v=KdD3Wq2DCWQ
ja hän vastasi tällaisella videolla.
kysymys.
Tietysti meidän pitää olettaa, että pallo on paikallaan pysyvä (coriolisvoimat eivät vaikuta) ja tasatiheyksinen.
Paikallaanpysyvyysoletuksesta selvitään, jos oletetaan reikä porattavaksi navalta navalle.
Mielenkiintoinen kysymys on se, miten edestakainen läpimenoaika suhtautuu 'pintaa hipovien' satelliittien kiertoaikaan.
Siitä voi helposti jotain päätelläkin, jos on tutustunut tähtitieteen perusteisiin.
Liikettä kuvaavan differentiaaliyhtälön kirjoittaminen onnistuu lukion fysiikan tiedoilla.
Sen ratkaiseminen voi olla sitten hiukan vaikeampaa, mutta ehkä palaamme asiaan myöhemmin.
> Paikallaanpysyvyysoletuksesta selvitään, jos
> oletetaan reikä porattavaksi navalta navalle.
Tässäkin tapauksessa se ei ole suora, vaan kaareutuu auringon ympärillä olevaa rataa pitkin kulkevaksi ja lisäksi kuut ja muut planeetat vielä aiheuttavat omat lisänsä. Ainoa mikä on varmaa: sen saaminen putoamaan suoraan on aurinkokunnassa todella vaikeaa.
Ja koska kyseessä on varmaankin erittäin pitkä, mutta kapea putki, niin aivan olematonkin poikkeama radasta saa kuulan törmäämään seinään.
Parempi olisi muuttaa kysymys muotoon, jossa oletetaan maapallon olevan kokonaan ontto. Kaikki massa on kuoressa.
Maapallon sisällä vetovoima on suoraan verrannollinen etäisyyteen maapallon keskipisteestä.
F=-kx, jossa x on etäisyys keskipisteestä ylöspäin.
Kuulan liikeyhtälö on siis : ma=-kx eli a=-k/m*x
Koska a on matkan toinen derivaatta saadaan toisen asteen differentiaaliyhtälö:
x`` (k/m)*x=0 , tuon ratkaisu saadaan , jos ei muuten, niin arvaamalla ja tarkistamalla:
x=Csin(sqrt(k/m)*t)
Tuo näyttää sinikäyrältä, ja jos asettaa
kulmaksi 2*pii, niin saa ajan.
2*pii=sqrt(k/m)*t=>t=2*pii/sqrt(k/m)
Tuo k varmaan pitäisi kokeellisesti määrätä. Venäläiset ovat poranneet 12 km syviä reikiä, ehkä apua sieltä?
pitäisiköhän se aika jakaa kahdella, ja kertoa maan halkaisijalla ?
että käytännössä kaikki esineet ovat liikkeessä jollain kaarevalla radalla. Mahdollisesti hyvin suuressa kaaressa, mutta kaaressa kuitenkin.
http://voyager.jpl.nasa.gov/science/heliocentric.html
Täysin suora liike on siis teoreettinen kummajainen, jota ei hevin löydä mistään.
eikä muuta. Siitä ei montaa sekuntia tule. Jos valitsee lukuarvoltaan k massaisen kuulan, niin t=3,14 s
Maapallon sisällä vetovoima on suoraan verrannollinen etäisyyteen maapallon keskipisteestä.
F=-kx, jossa x on etäisyys keskipisteestä ylöspäin.
Kuulan liikeyhtälö on siis : ma=-kx eli a=-k/m*x
Koska a on matkan toinen derivaatta saadaan toisen asteen differentiaaliyhtälö:
x`` (k/m)*x=0 , tuon ratkaisu saadaan helposti jos ei muuten niin arvaamalla ja tarkistamalla
Yleinen ratkaisu netistä:
x=A*cos(sqrt(k/m)*t) B*sin(sqrt(k/m)*t)
x(0)=0=>A=0
x=B*sin(sqrt(k/m)*t)
B saadaan ratkaistua kun ratkaistaan ensin alkunopeus maan keskipisteessä energiaperiaatteella:
0,5*k*R^2=0,5*m*v^2=>v=R*sqrt(k/m)
x`(0)=B*sqrt(k/m)*cos(sqrt(k/m)*t)=R*sqrt(k/m)=>B=R
x=R*sin(sqrt(k/m)*t)
x(t)=R
R=R*sin(sqrt(k/m)*t=>1=sin(sqrt(k/m)*t), josta pii/2=sqrt(k/m)*t
Ja ylösmenoaika t= pii/(2*sqrt(k/m), ja läpimenoaika pii/sqrt(k/m)
Helpommalla olisi päässyt kun olisi todennut kuulan joutuvan harmoniseen värähdysliikkeeseen, jonka värähdysaika on netistä saatu t=2pii*sqrt(m/k), ja läpimenoaika pii*sqrt(m/k)
Jos käyttää yhteyttä k*R=m*g, niin läpimenoajaksi tulee:
t=pii*sqrt(R/g), noin 40 min
"Maapallon sisällä vetovoima on suoraan verrannollinen etäisyyteen maapallon keskipisteestä.", löydätkö tälle jostain perustelut, koska ainakaan minun päähäni ei helpolla uppoa ajatus, että tuo toteutuisi pallolla.
Toisessa viestissäni on pohdinta, jossa tuota ei oleteta. Tietenkään arvio ei varmaan kauheasti heitä.
Kappaleen ollessa onton tasalaatuisen pallon sisällä siihen kohdistuva gravitaatiovoima on nolla.
Siis kappaleen ollessa radiaalisymmetrisen kappaleen sisällä etäisyydellä x keskipisteestä säteen x ulkopuolella olevien pallokehien gravitaatiovoimat siihen nollautuvat ja riittää tarkastella x-säteisen sisäosan siihen aiheuttamia voimia.
Kappaleen ollessa maapallon sisällä etäisyydellä x pallon keskipisteestä siihen kohdistuu ainoastaan x-säteisen pallon ytimen gravitaatiovoima.
Tämän x-säteisen pallon tilavuus on
V_x=(4/3)*pii*x^3
ja massa
m_x=(4/3)*pii*x^3*rho
missä rho = pallon tiheys (oletetaan tasaiseksi) ja pii=3.14159265...
Newtonin gravitaatiolain mukaan
ma=F=-f*m_x*m/x^2=f*(4/3)*pii*x^3*rho/x^2 = -f*(4/3)*pii*rho*x,
missä
a=kiihtyvyys
f=yleinen gravitaatiovakio
Voima on siis suoraan verrannollinen kappaleen etäisyyteen keskipisteestä!
Tästä saamme differentiaaliyhtälön
d^2/dx^2=-f*(4/3)*pii*rho*x
Tämä ratkeaa yritteellä
x(t)=A*sin(omega*t)
missä
omega=2*pii/T,
missä T=edestakaiseen matkaan kuluva aika ja A vakio (joka pinnasta lähdettäessä tulee olemaan sama kuin pallon säde)
mentäessä maan pinnalta ylöspäin, kuin mentäessä kohti keskustaa?
Kuinka syvältä painovoimaa on mitattu? Eikös syvimmät reijät ole kymmenen kilometriä, niinkuin jotkut meren syvänteet.
vedettynä kestää sen putkeen tipautetun kuulan saavuttaa maan vastakkaisen pinnan taso n.39 minuutin kuluttua. Tää on vaan noin arvio.
tämän ja sain tulokseksi 1.405 tuntia ts. 1 tunti ja 24 minuuttia. Tämä lienee sama, kuin pintaa hipovan satelliitin kiertoaika.
minä sain 42 min, kun käytin R=6380 km
matkaan kulunut aika.
Läpimenoon kuluu aikaa puolet siitä, eli 42 min.
läpimenoon kuluvaa aikaa, on
(3*pii/(4*f*rho))^(1/2),
missä
pii=3.14159265...
f=gravitaatiovakio
rho=maapallon tiheys
Pallon koolla ei siis ole merkitystä, tiheys ratkaisee.
Miten käyttäytyy maan vetovoima lähestyttäessä maan keskipistettä? Ja toiseksi, mikä on kuulan nopeus ohittaessaan maan keskipisteen, kun käytetään arvoa R= 6380 km?
Sivusta mielenkiinnolla seurannut.
Miten sen pallon saa pysähtymään?
Saako sen pallon pysähtymään maan keskipisteeseen, jos sinne päästää ilmaa ja kuinka kauan siihen menee?
Eikös Maan painopiste liiku Kuun ja Auringon vaikutuksesta. Kuinka suuri putki pitäisi olla, että pallo leijuisi kokoajan painopisteessä vapaasti?
vetovoima kun oli F=k*x, ja x etäisyys keskipisteestä, niin vetovoima pienenee ja keskipisteessä tietysti 0, kun x =0
Nopeudelle keskipisteessä oli tuolla ylempänä kaava ,johon sijoittamalla k/m=g/R, tulee
v=sqrt(gR) , ja tuo on noin 7,9 km/s
Noista muista en osaa sanoa mitään.
On osoitettavissa, että pallon muotoisella planeetalla, joka on tiheydeltään homogeeninen, vetovoima pienenee lineaarisesti nollaan keskipistettä lähestyessä.
Maapallo ei kuitenkaan ei ole ihan homogeeninen tiheydeltään, vaan keskemmällä on tiheämpää ainetta. Siitä seuraa, että alussa painovoima saattaa jopa kasvaa ja lähempänä ydintä painovoima heikkenee hieman nopeammin kuin lineaarisesti.
Nopeus on helppo laskea ainakin jos olettaa sen homogeenisyyden. (muuten tarvitaan tarkempia tietoja tiheyksistä) Silloin potentiaalienergian lausekkeesta tulee E=mgR²/2, missä m on kappaleen massa,R maan säde, g on putoamiskiihtyvyys Maan pinnalla. (n.9,8 m/s²)
Nyt saat nopeuden ratkaistua asettamalla potentiaalienergian alussa olevan sama kuin liike-energia lopussa, eli
mgR²/2 = mv²/2, josta saat nopeuden helposti ratkaistua.
Oho, jäi yksi virhe tuonne. Potentiaalienergia on siis mgR/2, eikä mgR²/2.
No tuon oli sitten joku muu tuossa edellä laskenutkin, mutta tulee sitten v = sqrt(gR).
Olisi ihan kiva tietää, mitä pitkään harkittuasi oikein luulit tarkoittavasi? Ja pallon läpi voi mennä putki vaikkapa 1000 km keskipisteen ohi tai hiukan enemmän, kuten Päijänne-tunneli.
En jaksanut noita valmiita tuloksia katsella, koska ongelmaa on mielenkiintoista pohtia. Formuloisin ongelman jokseenkin seuraavasti:
Valitaan koordinaatiksi kuulan (massa m) poikkeama keskipisteestä: x(t). Kuulaan vaikuttavat voima on tällöin F(x) = G*m*int[(((x-r)*rho(r)/abs(x-r)^3)*dr], jossa G on gravitaatiovakio ja integraali r:n ylitse integraali koko lähdeavaruuden ylitse, joka on tässä tapauksessa maapallo pl. putki, jos sitä ei haluta approksimoida pieneksi.
Newtoni sanoo tällöin: x''(t) = F(x)/m.
Eli aika tikkunen tuosta tulee ratkoa käsipelillä. Numeerisestihan toi menee jollain mukavalla softalla vaikka.
Toinen vaihtoehto olisi varmaan lähteä kirjoittamaan kirjoittamaan kuulan potentiaalienergialle lauseketta V(x), jolloin voisi kirjoittaa tuon 1/r riippuvuuden multipolikehitelmänä legenderen polynomien avulla approksimoida sitä sopivasti ja alkaa ratkomaan vastaavaa Lagrangen liikeyhtälöä. Lagrangen liikeyhtälöistä saisi suoraan sitten ominaisvärähtelytaajuuden.
Jotain myöhäisillan ajatuksia.
pieni jatkokysymys.
Oletamme maapallon kuution muotoiseksi. Olkoon keskitiheys sama kuin maapallon keskitiheys. Poraamme reiän kuution joltakin sivutahkolta sen keskipisteestä vastakkaisen tahkon keskipisteeseen.
Mikähän mahtaisi olla nyt reikään pudotetun kappaleen läpimenoaika?
selvää pässinlihaa, mutta entäpä jos olettaisimme maapallon mutterin muotoiseksi. Se mutterin läpi menevä reikä olisi halkaisijaltaan pieni muihin dimensiohin verrattuna ja mutterin koko (tiedättehän miten se mitataan?) suurempi kuin mutterin paksuus. Tiheys voisi taas olla sama kuin maapallon keskitiheys. Missähän ajassa tämän mutterin reikään pudotettu kappale sujahtaisi mutterin lävitse?
on?
oikeakätinen.jollei sen mutun ulkokehälle ole työstetty uraa,joka osoittaa sen olevan vasenkätinen.