Luku tökkäsi helpon oloiseen esimerkkiin. Jos meillä on riippumattomat satunnaismuuttujat X ja Y jotka ovat tasajakautuneita (~Tas(0,1)), niin laskettava Z:n tiheysfunktio kun Z = X Y. Lasku menee konvoluutiolla.
Merkitään tiheysfunktioita f_X(x) = 1 ja f_Y(y) = 1 kun ollaan alueella [0,1]. Nyt f_X(x)f_Y(z-x) = 1 kun 0 < x < 1 ja 0 < z-x < 1. Tästä z-1 < x < z eli max{0,z-1} < x < min{1,z} ja tulo on nolla kun z < 0 tai z > 2.
Käsittääkseni tässä tutkitaan milloin lausetta f_X(x)f_Y(z-x) ikään kuin z:n funktiota, eli kun x:n arvoväli tiedetään halutaan selvittää mitä z voi olla. Nyt itse tiheysfunktio f_Z(z) lasketaan
0 < z < 1 -> f_Z(z) = int_0^z 1 dx = z ja
1 < z < 2 -> f_Z(z) = int_{z-1}^1 1 dx = 2-z.
Mistä nuo integrointirajat tulevat? Otsalla tulos on järkevä, mutta jokin välivaihe ei löydy.
Merkitään tiheysfunktioita f_X(x) = 1 ja f_Y(y) = 1 kun ollaan alueella [0,1]. Nyt f_X(x)f_Y(z-x) = 1 kun 0 < x < 1 ja 0 < z-x < 1. Tästä z-1 < x < z eli max{0,z-1} < x < min{1,z} ja tulo on nolla kun z < 0 tai z > 2.
Käsittääkseni tässä tutkitaan milloin lausetta f_X(x)f_Y(z-x) ikään kuin z:n funktiota, eli kun x:n arvoväli tiedetään halutaan selvittää mitä z voi olla. Nyt itse tiheysfunktio f_Z(z) lasketaan
0 < z < 1 -> f_Z(z) = int_0^z 1 dx = z ja
1 < z < 2 -> f_Z(z) = int_{z-1}^1 1 dx = 2-z.
Mistä nuo integrointirajat tulevat? Otsalla tulos on järkevä, mutta jokin välivaihe ei löydy.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Niin siis
f_X(x) f_Y(z-x) = 1
kun
0 < z-x < 1
0 < x < 1
Josta saadaan 4 ehtoa:
x < z
x > z-1
x > 0
x < 1
Kun 0 < z < 1, toka on aina voimassa ja aktiivinen ehto on
x < z
Siispä kun z on tuolla välillä,
f_Z(z) = int_0^z 1 dx
Kun 1 < z < 2, eka on aina voimassa ja aktiivinen ehto on
x > z-1
Siispä kun z on tuolla toisella välillä,
f_Z(z) = int_{z-1}^1 1 dx