Alkeisfunktioista

Endorfiinihumala

Iltapäivää matemaatikot.

"On olemassa funktioita, joiden integraalifunktiot eivät ole alkeisfunktioita, eli ne eivät ole rationaalifunktioiden, potenssifunktioiden, trigonometristen tai eksponenttfunktioiden tai näiden käänteisfunktioiden avulla ilmaistavissa olevia lausekkeita."

Tämä alkeisfunktion käsite on minulle hieman hämärä. Voisiko joku valaista? Millaisia sitten ovat nämä integraalifunktiot, jotka eivät ole alkeisfunktioita? Minkä tyyppisiä lausekkeita ne ovat?

10

704

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • ffffs

      Perusesimerkki on funktion f(x)=e^(x^2) integraali. Eli ei kyetä integroimaan funktiota f siten, että F(x) olisi esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

      Siis Integraali f(x) on mahdoton integroida analyyttisesti (vastakohta numeerisesti) jos vain alkeisfunktioiden käyttö sallitaan.

      • ei tarkoitettane..

        viittausta asian ns.helppouteen tai triviaalisuuteen kuten yleiskielessä, vaan (matematiikassa) siihen että onko ylipäätään löydettävissä analyyttistä lauseketta, jolla esittää funktio (ks.myös jäljempänä olevat vastaukset).

        "Siis Integraali f(x) on mahdoton integroida analyyttisesti (vastakohta numeerisesti) jos vain alkeisfunktioiden käyttö sallitaan."

        Onko edellinen oikein sanottu?? Miten integroidaan analyyttisesti, jos väljennetään ehtoja?

    • opettajakaan..

      :s tai ei tule ajatelleeksi tai maininneeksi, miten tuollaiset käytännön sanonnat määritellään, kopioi vain suullisesti oppikirjan tekstejä (järjen mukaan määrittelyt pitäisi jostain löytyä, jos joku tietää, kertokoon! :)

      Yksi arvaus on, että ns.käytännön käppyrät (mittaustulokset), esim. jatkuvasti mitattu lämpötila vuorokauden ajalta ei olisi alkeisfunktio. Tai vapaa viiva, vaikka itsestään ja itsensä analysointia varten vapaalla kädellä piirretty potutuskäppyrä viikonvaihteen ajalta ei myöskään liene alkeisfunktio. Eli jonkinlaisella matemaattisella lausekkeella ilmaistavat (alkeis)funktiot ovat vain osajoukko funktioista.
      Edellä vastauksessa sanotaan, että jotain on mahdotonta integroida analyyttisesti jos vain alkeisfunktiot sallitaan. Mites on, jos kaikkea sallitaan, eikö tarvita numeerisia menetelmiä?
      Entäs onko esim. spline-paloista koostuvat funktiot alkeisfunktiota? Miten lienee määritelmät

      • dx2

        Alkeisfunktioiden avulla esitettäviä funkioita lienee juurikin vaan ne summan, vähennyksen, kertolaskun, jaon, (arkus)sinien ja (arkus)kosinien, eksponenttifunktioiden ja logaritmin yhdistettyjen funktioiden avulla esitettävissä olevat funktiot. Tämä lienee aika helposti käsitettävä määritelmä. Mikään luonnonilmiö (luonnon funktio) ei toki ole esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

        Numeeriset integrointimenetelmät tuottavat vaan jonkun äärellisen sarja- tai polynomiapproksimaation (likiarvon) funktiosta, eivät sitä funktiota itseään. Samoin spliniapproksimaatiot ovat paloittain määriteltyjä polynomeja, joten ne eivät taida olla alkeisfunktioista muodostettuja tässä mielessä.

        Tosiaan vain nollamittainen osajoukko kaikista mahdollisista funktioista on esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

      • mat. opiskelija
        dx2 kirjoitti:

        Alkeisfunktioiden avulla esitettäviä funkioita lienee juurikin vaan ne summan, vähennyksen, kertolaskun, jaon, (arkus)sinien ja (arkus)kosinien, eksponenttifunktioiden ja logaritmin yhdistettyjen funktioiden avulla esitettävissä olevat funktiot. Tämä lienee aika helposti käsitettävä määritelmä. Mikään luonnonilmiö (luonnon funktio) ei toki ole esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

        Numeeriset integrointimenetelmät tuottavat vaan jonkun äärellisen sarja- tai polynomiapproksimaation (likiarvon) funktiosta, eivät sitä funktiota itseään. Samoin spliniapproksimaatiot ovat paloittain määriteltyjä polynomeja, joten ne eivät taida olla alkeisfunktioista muodostettuja tässä mielessä.

        Tosiaan vain nollamittainen osajoukko kaikista mahdollisista funktioista on esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

        Yleensä kai arkusfunktioita ei lasketa alkeisfunktioiksi. Ei ainakaan Rischin algoritmissa.

      • matemaallikko
        mat. opiskelija kirjoitti:

        Yleensä kai arkusfunktioita ei lasketa alkeisfunktioiksi. Ei ainakaan Rischin algoritmissa.

        Google-haulla löytyi tämmöstä
        http://solmu.math.helsinki.fi/palautteet/2001/kesa2001.html
        (siinä alussa on jotain muuta)
        Eli jos enemmän kaivelee, niin enemmän mutkistuu :)
        Mutta kuten sanotaan, elämä on..

    • tollasen
      • sujuvasti niitä näitä..

        mutta jos sattuukin heräämään kysymys, mitä olisi asia yleisemmin tai täsmällisemmin, niin: "..jaa-a, kukahan tietäs..", esim. mikä olisi alkeisfunktion kääntöpuoli...
        Lainaus yo.linkistä: "Ei ole täysin yksiselitteistä, mitä niihin eri yhteyksissä luetaan.." No. tässä tapauksessa asia lienee riittävällä tarkkuudella tutkailtu :)
        Mutta oikeesti, irl 8] , kaikkea epämääräisyyksiä kyllä tulee riittämään..

    • kaikki maailman

      Voisiko teidän mielestä tehdä tällaisen ikään kuin analogian:

      Niinkuin on olemassa irrationaalilukuja, joita ei voida esittää muodossa p/q, p kuuluu Z ja q kuuluu N. Voidaan vain ajatella niitä raja-arvoina rationaalilukujonoista.

      Vähän vastaavasti ei voida esittää tiettyjä funktioita alkeisfunktioiden avulla.
      Funktiohan on osajoukko sen määrittely- ja arvojoukon karteesisesta tulosta.

      Mutta mitenkäs paloittain määritellyt funktiot, mihin kastiin ne laitetaan...?

      • matemaallikko

        Nuo mitä sanot, on lukuteoreettisia juttuja ja karteesinen tulo koulumatematiikassa funktioiden käsittelyn yhteydessä tarkoittaa samaa kuin xy-taso (matematiikan teoriassa vain on puhuttava 'hienoja', jottei jää puheistaan kiinni, vähän samaa kuin poliitikoilla :)
        Tuosta voi joku tietävä korjata, ei kai lukuteoriassa ajatella irrationaalilukuja limes-arvoina.. taikka sitten miten vaan, onhan sqrt(2) tai piin likiarvo käytännössä jostain laskettava, sarjasta vaikka. Noihin liittyy vielä ne tiheyskäsitteet (mahtavuudet) ja Canttorin opit....
        Alunperäinen probleemahan nousee siitä, kun määrättyä integraalia laskiessa pitäisi löytää se integraalifunktio, kun siitä vaikkapa jonkun käppyrän rajoittaman pinta-alan lasku käytännössä olisi helppoa. Mutta kun se tavallaan luonnonlaki on niin mälsä, ettei aina löydy. Jos vetäset xy-paperille kynällä vapaasti taiteellisen viivan, niin mikä on sen yhtälö. Voi sanoa, että ilman onnekasta sattumankauppaa (tai viivaimella/kaavaimella vetoa) ei sitä kukaan tiedä. Usein integraalifunktio on kyllä, mutta analyyttistä lauseketta sille (tämän hetken tutkimuksilla) ei löydy. Esim.semmonen ei ole 'alkeisfunktio'. Kuten ylempänä jossain linkissä sanotaan, tällaiset sanonnat on vain sopimuksia, eikä ole varmaa milloin niitä jossain matemaatikkojen kokouksissa muutetaan, käytännössä lisätään (muutettiinhan sekin ettei Pluto ole planeetta :) Nyt voisi esimerkiksi kaivella, sanotaanko normaalijakaumaa (jonka muodon kaikki tietävät) alkeisfunktioksi vai ei, en nyt mee sanomaan siitä mitään, mitä lienee sovittu...

        Jos integraalifunktion lauseketta ei löydy, laskennassa on turvauduttava numeerisen matematiikan (koneille valmiiksi ohjelmoituihin) menetelmiin, niitä ei hirveesti käsitellä koulukursseissa. Pitkän matikan lukijat tietää jotakin

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kumpi vetoaa enemmän sinuun

      Kaivatun ulkonäkö vai persoonallisuus? Ulkonäössä kasvot vai vartalo? Mikä luonteessa viehättää eniten? Mikä ulkonäössä?
      Ikävä
      96
      1896

    2. Ei se mene ohi ajan kanssa

      Näin se vaan on.
      Ikävä
      88
      1340

    3. Tavoitteeni onkin ärsyttää

      Sua niin turhaudut ja unohdat koko homman
      Ikävä
      110
      1143

    4. Tunnistebiisi

      Laita joku tunnistebiisi, niin tiedän ett oot täällä ja kaipaat ehkä mua
      Ikävä
      76
      1037

    5. Taidat tykätä linnuista paljon

      Mikä on sun lemppari ☺️😉🥹🦢🐦‍⬛🦉🦜🦚
      Ikävä
      119
      1010

    6. Okei nyt mä ymmärrän

      Olet siis noin rakastunut, se selittää. Onneksesi tunne on molemminpuolinen 😘
      Ikävä
      57
      873

    7. Miks käyttäydyt noin?

      Välttelet kaikkia kohtaamisia...
      Ikävä
      47
      791

    8. Ei sun tarvi jännittää enää

      en yritä enää mitään. Tiedän että olin mauton ja sössin kaiken.
      Ikävä
      36
      782

    9. Olen huolissani

      Että joku päivä ihastut/rakastut siskooni. Ja itseasiassa haluaisin, ettei hän olisi mitenkään sinun tyyppiäsi ja pitäis
      Ikävä
      48
      741

    10. Minkälainen ääni mulla on mies

      Sinun mielestä?
      Ikävä
      33
      693
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt