Alkeisfunktioista

Endorfiinihumala

Iltapäivää matemaatikot.

"On olemassa funktioita, joiden integraalifunktiot eivät ole alkeisfunktioita, eli ne eivät ole rationaalifunktioiden, potenssifunktioiden, trigonometristen tai eksponenttfunktioiden tai näiden käänteisfunktioiden avulla ilmaistavissa olevia lausekkeita."

Tämä alkeisfunktion käsite on minulle hieman hämärä. Voisiko joku valaista? Millaisia sitten ovat nämä integraalifunktiot, jotka eivät ole alkeisfunktioita? Minkä tyyppisiä lausekkeita ne ovat?

10

786

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • ffffs

      Perusesimerkki on funktion f(x)=e^(x^2) integraali. Eli ei kyetä integroimaan funktiota f siten, että F(x) olisi esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

      Siis Integraali f(x) on mahdoton integroida analyyttisesti (vastakohta numeerisesti) jos vain alkeisfunktioiden käyttö sallitaan.

      • ei tarkoitettane..

        viittausta asian ns.helppouteen tai triviaalisuuteen kuten yleiskielessä, vaan (matematiikassa) siihen että onko ylipäätään löydettävissä analyyttistä lauseketta, jolla esittää funktio (ks.myös jäljempänä olevat vastaukset).

        "Siis Integraali f(x) on mahdoton integroida analyyttisesti (vastakohta numeerisesti) jos vain alkeisfunktioiden käyttö sallitaan."

        Onko edellinen oikein sanottu?? Miten integroidaan analyyttisesti, jos väljennetään ehtoja?

    • opettajakaan..

      :s tai ei tule ajatelleeksi tai maininneeksi, miten tuollaiset käytännön sanonnat määritellään, kopioi vain suullisesti oppikirjan tekstejä (järjen mukaan määrittelyt pitäisi jostain löytyä, jos joku tietää, kertokoon! :)

      Yksi arvaus on, että ns.käytännön käppyrät (mittaustulokset), esim. jatkuvasti mitattu lämpötila vuorokauden ajalta ei olisi alkeisfunktio. Tai vapaa viiva, vaikka itsestään ja itsensä analysointia varten vapaalla kädellä piirretty potutuskäppyrä viikonvaihteen ajalta ei myöskään liene alkeisfunktio. Eli jonkinlaisella matemaattisella lausekkeella ilmaistavat (alkeis)funktiot ovat vain osajoukko funktioista.
      Edellä vastauksessa sanotaan, että jotain on mahdotonta integroida analyyttisesti jos vain alkeisfunktiot sallitaan. Mites on, jos kaikkea sallitaan, eikö tarvita numeerisia menetelmiä?
      Entäs onko esim. spline-paloista koostuvat funktiot alkeisfunktiota? Miten lienee määritelmät

      • dx2

        Alkeisfunktioiden avulla esitettäviä funkioita lienee juurikin vaan ne summan, vähennyksen, kertolaskun, jaon, (arkus)sinien ja (arkus)kosinien, eksponenttifunktioiden ja logaritmin yhdistettyjen funktioiden avulla esitettävissä olevat funktiot. Tämä lienee aika helposti käsitettävä määritelmä. Mikään luonnonilmiö (luonnon funktio) ei toki ole esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

        Numeeriset integrointimenetelmät tuottavat vaan jonkun äärellisen sarja- tai polynomiapproksimaation (likiarvon) funktiosta, eivät sitä funktiota itseään. Samoin spliniapproksimaatiot ovat paloittain määriteltyjä polynomeja, joten ne eivät taida olla alkeisfunktioista muodostettuja tässä mielessä.

        Tosiaan vain nollamittainen osajoukko kaikista mahdollisista funktioista on esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

      • mat. opiskelija
        dx2 kirjoitti:

        Alkeisfunktioiden avulla esitettäviä funkioita lienee juurikin vaan ne summan, vähennyksen, kertolaskun, jaon, (arkus)sinien ja (arkus)kosinien, eksponenttifunktioiden ja logaritmin yhdistettyjen funktioiden avulla esitettävissä olevat funktiot. Tämä lienee aika helposti käsitettävä määritelmä. Mikään luonnonilmiö (luonnon funktio) ei toki ole esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

        Numeeriset integrointimenetelmät tuottavat vaan jonkun äärellisen sarja- tai polynomiapproksimaation (likiarvon) funktiosta, eivät sitä funktiota itseään. Samoin spliniapproksimaatiot ovat paloittain määriteltyjä polynomeja, joten ne eivät taida olla alkeisfunktioista muodostettuja tässä mielessä.

        Tosiaan vain nollamittainen osajoukko kaikista mahdollisista funktioista on esitettävissä alkeisfunktioiden avulla.

        Yleensä kai arkusfunktioita ei lasketa alkeisfunktioiksi. Ei ainakaan Rischin algoritmissa.

      • matemaallikko
        mat. opiskelija kirjoitti:

        Yleensä kai arkusfunktioita ei lasketa alkeisfunktioiksi. Ei ainakaan Rischin algoritmissa.

        Google-haulla löytyi tämmöstä
        http://solmu.math.helsinki.fi/palautteet/2001/kesa2001.html
        (siinä alussa on jotain muuta)
        Eli jos enemmän kaivelee, niin enemmän mutkistuu :)
        Mutta kuten sanotaan, elämä on..

    • tollasen
      • sujuvasti niitä näitä..

        mutta jos sattuukin heräämään kysymys, mitä olisi asia yleisemmin tai täsmällisemmin, niin: "..jaa-a, kukahan tietäs..", esim. mikä olisi alkeisfunktion kääntöpuoli...
        Lainaus yo.linkistä: "Ei ole täysin yksiselitteistä, mitä niihin eri yhteyksissä luetaan.." No. tässä tapauksessa asia lienee riittävällä tarkkuudella tutkailtu :)
        Mutta oikeesti, irl 8] , kaikkea epämääräisyyksiä kyllä tulee riittämään..

    • kaikki maailman

      Voisiko teidän mielestä tehdä tällaisen ikään kuin analogian:

      Niinkuin on olemassa irrationaalilukuja, joita ei voida esittää muodossa p/q, p kuuluu Z ja q kuuluu N. Voidaan vain ajatella niitä raja-arvoina rationaalilukujonoista.

      Vähän vastaavasti ei voida esittää tiettyjä funktioita alkeisfunktioiden avulla.
      Funktiohan on osajoukko sen määrittely- ja arvojoukon karteesisesta tulosta.

      Mutta mitenkäs paloittain määritellyt funktiot, mihin kastiin ne laitetaan...?

      • matemaallikko

        Nuo mitä sanot, on lukuteoreettisia juttuja ja karteesinen tulo koulumatematiikassa funktioiden käsittelyn yhteydessä tarkoittaa samaa kuin xy-taso (matematiikan teoriassa vain on puhuttava 'hienoja', jottei jää puheistaan kiinni, vähän samaa kuin poliitikoilla :)
        Tuosta voi joku tietävä korjata, ei kai lukuteoriassa ajatella irrationaalilukuja limes-arvoina.. taikka sitten miten vaan, onhan sqrt(2) tai piin likiarvo käytännössä jostain laskettava, sarjasta vaikka. Noihin liittyy vielä ne tiheyskäsitteet (mahtavuudet) ja Canttorin opit....
        Alunperäinen probleemahan nousee siitä, kun määrättyä integraalia laskiessa pitäisi löytää se integraalifunktio, kun siitä vaikkapa jonkun käppyrän rajoittaman pinta-alan lasku käytännössä olisi helppoa. Mutta kun se tavallaan luonnonlaki on niin mälsä, ettei aina löydy. Jos vetäset xy-paperille kynällä vapaasti taiteellisen viivan, niin mikä on sen yhtälö. Voi sanoa, että ilman onnekasta sattumankauppaa (tai viivaimella/kaavaimella vetoa) ei sitä kukaan tiedä. Usein integraalifunktio on kyllä, mutta analyyttistä lauseketta sille (tämän hetken tutkimuksilla) ei löydy. Esim.semmonen ei ole 'alkeisfunktio'. Kuten ylempänä jossain linkissä sanotaan, tällaiset sanonnat on vain sopimuksia, eikä ole varmaa milloin niitä jossain matemaatikkojen kokouksissa muutetaan, käytännössä lisätään (muutettiinhan sekin ettei Pluto ole planeetta :) Nyt voisi esimerkiksi kaivella, sanotaanko normaalijakaumaa (jonka muodon kaikki tietävät) alkeisfunktioksi vai ei, en nyt mee sanomaan siitä mitään, mitä lienee sovittu...

        Jos integraalifunktion lauseketta ei löydy, laskennassa on turvauduttava numeerisen matematiikan (koneille valmiiksi ohjelmoituihin) menetelmiin, niitä ei hirveesti käsitellä koulukursseissa. Pitkän matikan lukijat tietää jotakin

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Lindtman I vasemmistohallitus aloittaa viimein Suomen kuntoon laittamisen

      Tässä nyt on 3 vuotta seurattu irvokasta kärsimysnäytelmää nimeltään "valtion budjetin tasapainotus by äärioikeisto", ja
      Maailman menoa
      178
      2638

    2. Missä viipyy persujen lupaama euron bensa?

      En edes muista milloin bensapumpussa olisi ollut ykkösellä alkava litrahinta. Missä siis viipyy persujen lupaama euron b
      Maailman menoa
      148
      2397

    3. Kirje, PellePelottomalle.

      Tärkeää olisi luoda ystävyys, että se, jota rakastaa, on samalla paras ystävä ja luotettavin, jolle voi ja uskaltaa luot
      Ikävä
      103
      1090

    4. Meni kyllä aika solmuun

      Meidän tutustuminen 😐
      Ikävä
      64
      911

    5. Sinua oli kiihottavaa

      Sinua nainen oli kiihottavaa katsella.
      Ikävä
      65
      869

    6. Mistä löytyy naisseuraa sinkkumiehelle?

      Kertokaapas kokeneemmat mistä löytyis naisseuraa sinkulle. Ihan ois eukko nyt tosissaan hakusessa. Tanssipaikat kun on a
      Kuhmo
      20
      770

    7. Martinan hevoset.

      Tämä todella kaunis ja ketterä harmaa hevonen jolla monet kilpailut voitetaan ei ole Martinan.Tytär ratsastaa sillä tait
      Kotimaiset julkkisjuorut
      228
      761

    8. Persut jakavat tekoälyllä tehtyjä kuvia maahanmuuttajista somessa

      Eivät mainitse, että ovat tekoälyllä tehtyjä. Eivät näe asiassa mitään ongelmaa. Valehtelijapuolue taas vauhdissa. Unka
      Maailman menoa
      276
      747

    9. Voi teitä naisia

      Suudeltiin ja nukuttiin toisissamme kiinni mutta pillua ei tullu, ei edes aamulla. t.38vmies
      Sinkut
      87
      734

    10. Hyvä meininki

      TTP:ssa väkeä tosi runsaasti paikalla. Hyvää ruokaa jälleen ja munkit ja sima erinomaista. Kiitos yrittäjälle! Hieno Vap
      Haapavesi
      22
      688
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt