En löytänyt kirjasta oikeen selostusta seuraaviin asioihin:
jos f(x)=x^x, niin millä perusteella f(x)=e^ln(x^x))eli miksi pätee x^x=e^ln(x^x)?
Jos tuon joku johtaisi olisin erittäin kiitollinen.
Toinen probleema, että miten ratkaistaan logaritmiyhtälö, joiden logaritmeissa on eri kantaluvut? Esim: log(x 2)=log (3x) 2, joissa yhtälön oikeanpuoleinen logatitmin kantaluku on 1/3 ja vasemman puolen 3. Mietin ensin kantaluvun vaihtoa, muttei oikein tuottanut tulosta. Kiitokset!
jos f(x)=x^x, niin millä perusteella f(x)=e^ln(x^x))eli miksi pätee x^x=e^ln(x^x)?
Jos tuon joku johtaisi olisin erittäin kiitollinen.
Toinen probleema, että miten ratkaistaan logaritmiyhtälö, joiden logaritmeissa on eri kantaluvut? Esim: log(x 2)=log (3x) 2, joissa yhtälön oikeanpuoleinen logatitmin kantaluku on 1/3 ja vasemman puolen 3. Mietin ensin kantaluvun vaihtoa, muttei oikein tuottanut tulosta. Kiitokset!
Vastaukset 2
Vanhimmat
Se on vähän niin kuin logaritmin määritelmä, että se on eksponenttifunktion käänteisfunktio:
y = ln x
exp(y) = x
eli
exp(ln x) = x
ja kun sinne laittaa x:n tilalle x^x, niin
exp(ln x^x) = x^x
tai siis
exp(x ln x) = x^x
Toisessa varmaan auttaa se, että jos log_n on n-kantainen logaritmi ja ln on e-kantainen (tai mikä muu tahansa) niin
log_n(x) = ln(x) / ln(n)
siispä äkkiä laskettuna
ln(x 2)/ln(3) = ln(3x)/ln(1/3) 2
ln(x 2)/ln(3) = -ln(3x)/ln(3) 2
ln(x 2) = -ln(3x) 2 ln(3)
ln((x 2)*3x) = ln(3^2)
3x^2 6x - 9 = 0
x = -6/2/3 - 1/(2*3) sqrt(6^2 4*3*9)
= -1 - 2 = {-3,1}
josta vaan x=1 taitaa kelvata.
Tehtävien kannalta logaritmin määritelmä kannattaa opetella ulkoa näin:
"a-kantainen logaritmi luvusta x on se luku, joka a:lle pitää kirjoittaa eksponentiksi, jotta potenssin arvo on x."
Siis lausekkeessa e^{ln(x^x)} on e:lle kirjoitettu eksponentiksi se luku, joka e:lle pitäisikin kirjoittaa, jotta potenssin arvo olisi x^x. Eli lausekkeen arvo on x^x.