Mietin tässä, että mistä juontaa juurensa, että juuri eksponenttifunktion (e^x) derivaatta on sama kuin funktio itse?
Eksponenttifunktion derivaatta
Hmmm..mm
9700
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Mutta mielumin englanniksi! Suomenkieliset versiot ovat usein aika huonoja!
Käytännössä eräs lähestymistapa on tutkia, onko olemassa kantalukua c s.e. Dc^x=c^x, tästä seuraa että tällöin c = lim(n->infinity)(1 1/n)^n merkitään c = e. Ts. e voidaan määritellä kuten yllä, ja tällöin yllä oleva ominaisuus on tosi.
Tarkka todistus ei ole helppo lukiolaiselle.
e^x:llä on olemassa myös toinen esitystapa. Perustelut tulee sarjaa koskevista teorioista, mutta oletetaan sen nyt olevan tosi.
e^x = 1 x x²/2! x³/3! x^4/4! ...
tuosta voit helposti todeta että derivoimalla termeittäin sarja ei muutu. X.n arvolla 1 tulee tietysti e, ja tuota voi pitää e:n määritelmänäkin. Tuo on funktion e^x Taylorin sarja. Voidaan osoittaa että se on yhtäpitävä sen tunnetumman määritelmän kanssa.
En tiedä auttoiko vai ei.
ettei ole todellakaan heti selvää, että sarjan termejä voi derivoida yksittäin. Tässä tapauksessa voidaan tietysti osoittaa, että näin voidaan menetellä.
Derivointihan on lineaarinen operaatio.
jossa sarjan termit ovat esim. muotoa sin(k^4 x)/k^2, niin tällöin sarja suppenee kyllä kaikilla x:n arvoilla, mutta derivoitujen termien jono k^2 cos(k^4 x) hajaantuu useimmiten.
Vastaavanlaisia kummallisuuksia on muitakin, esim.
äärellisen summan voi laskea missä tahansa järjestyksessä,
mutta sarjalle näin ei voidakkaan välttämättä tehdä.
[i]jossa sarjan termit ovat esim. muotoa sin(k^4 x)/k^2, niin tällöin sarja suppenee kyllä kaikilla x:n arvoilla, mutta derivoitujen termien jono k^2 cos(k^4 x) hajaantuu useimmiten.[/i]
Niin, mutta eihän tuo kuitenkaan estä derivoimasta sarjaa termi kerrallaan. Jos saatu sarja ei suppene, niin sillä ei tietenkään tee mitään. Ihan yleisesti kuitenkin pätee, että derivointi on lineaarinen operaatio, joten tulosta ei tarvitse jännittää etukäteen vaan katsoo vain mitä tulee.
Mitä tarkoitat sillä, että ssarjan termien järjestystä ei saa vaihtaa aina? Tulee mieleen hieman samantapaisia tilanteita, joissa haksahtaa helposti supistelemalla liian ajoissa, mutta siinäkin on kyse vain ajatusvirheestä. Esim. sarja 1 2-3 4-5 jne ei ole 1 1 1 1 ihan yksiselitteisesti...
ongelmia..
Esim. sarja 1 - 1/2 1/3 - 1/4 ...
suppenee (miksi?), mutta sarja
1 1/2 1/3 1/4 ... taas tunnetusti hajaantuu.
Nyt sarjan 1 - 1/2 1/3 - 1/4 ... termejä laskettaessa "pirullisesti" yhteen, voidaan saada erilaisia summia. Miksi, no siksi, että sarjat
1 1/3 1/5 ... > 1/2 1/4 1/6 ...
= 1/2( 1 1/2 1/3 ...) = ääretön. ts. voin laskea ensin aina niin monta negatiivista termiä yhteen, että se on suurempaa kuin seuraava lisättävä positiivinen, näin saan varmasti negatiivisen lopputuloksen. Vastaavasti voin laskea aina riittävästi positiivisia termejä ja lisätä yhden pienemmän negatiivisen termin ja looputuloksena on varmasti positiivinen lopputulos.
Tuo on kyllä tuttua, mutta vieläkään en ole vakuuttunut siitä etteikö dervointi termeittäin olisi melko huoletonta, jos derivoitava funktio ja dervoitu funktio on suppeneva.
Eihän noissa summausjärjestyksessäkään tehdä mitään sinänsä laitonta vaihtamalla laskujärjestystä. Pitää vain muistaa millaisesta sarjasta alunperin oli kyse. Esimerkiksi nuo vuorottelevat sarjat eivät välttämättä hajaannu vain jompaan kumpaan tai - äärettömään, vaikka termejä järjestelemällä niin voi aluksi näyttää. Kuitenkin kyseessä on vain pieni ajatusvirhe siitä että silloin tuleekin tutkineeksi mitä tapahtuu kun esim. joka toisella tai kolmannella jne jäsenellä.
joka ei tyydykään pelkästään mekaanilaskuihin, vaan miettii filosofioita ihan itse, tsemppiä vaan :)
Tuota, ei se ajatustasolla niin ihmeellistä ole, otetaan vaikka loogisesti vastaava yksinkertaisempi esimerkki: mikä olisi sellainen funktio, jotta funktion arvo olisi sama kuin argumenttinsa?
Pienellä mietiskelyllä löytyy, että sehän on f(x) = x. Ja sitten kun piirtää sen ruutupaperille. niin suoraan näkee ja ymmärtää sen visuaalisuuden perusteella.
Piirrä tai katso valmiista kuvasta samalla tavalla funktio f(x) = e^x. Derivaattahan on havainnollisesti yhtä kuin kulmakerroin kussakin kohtaa x-arvolla. Kun nyt viivottimella mallaat tangenttia, niin on jo silmämääräisesti uskottavaa, että funktion arvo on sama kuin derivaattansa kussakin pisteessä, esim kohdassa nolla derivaatta ja funktion arvo molemmat on yksi, ja kohdassa 1 derivaatta on 2.718.. ja samoin funktion arvo.
Tällaisia käyriä, missä esim. nuo yo.totuudet ovat suunnilleen voimassa, on voitu periaatteessa piirtää jo aikojen alussakin silmämääräisesti vapaalla kädellä, jo silloin kun logaritmeista sun muista ei ole ollut hajuakaan. Eli likimääräisessä piirtämisessä sinällään (periaatteessa) ei ollut ongelmaa, se millä tavalla niitä voisi kuvata täsmällisemmin kuin piirtämällä, siitä ei ole ollut haisua. Sitten kun funktio-käsitettä matematiikan puitteissa on väsätty, niin kysymykseksi muun ohella on tullut, millähän yksinkertaisella tavalla (matematiikassa pyrkimys mahdollisuuksien puitteissa yksinkertaisuuteen) noita sääntöyhteyksiä merkittäisiin vaikkapa tekstinä paperilla (siis muuten kuin likimääräisesti piirtämällä). Kun xy-koordinaatisto on keksitty, eka esimerkissä ei ole ollut suurtakaan miettimistä (y = x).
Tuolle toiselle esimerkkisäännölle ei ole löytynyt suoralla järjellä (intuitiivisesti) xy-koordinaatiston (eikä oikein muunkaan koordinaatiston) puitteissa, miten se merkitään. Toinen esimerkki olisi vaikka kellokäyrän (Gauss) muoto, jokainenhan osaa sutaista sen paperille, mutta mikä olisi yhtälö. Tämmöiset ovat niitä matematiikan tekijöiden haasteita, kun ne tutkijan komerossa miettivät. Ja mitä on mietintöjen tuloksia, näitä tuo ensimmäinen vastaaja on hakenut (wikipediasta esimerkiksi).
Tässä on vielä vaikeus, ettei löydy mitään tasaista lukua, millä tuota sääntöä saisi tekstimerkinnöillä kuvatuksi. Samanlainen ongelma on ollut ympyrän kohdalla, kun ei ole muu auttanut on pitänyt 'keinotekoisesti' ottaa käyttöön piin käsite ja laskea sille tavalla tai toisella likiarvo (jonka desimaaleja jotkut höhlät skabamielessä yrittävät muistella niin pitkälle kuin mahdollista.. ja mikäs siinä, huvinsa jokaisella :) Ja sama juttu on e:n kohdalla!
Se on käyttöönotettu lyhennysmerkintä jonkun lausekkeen raja-arvolle (limes: matematiikassa luotu käsite). Kun tällainen e:n merkintä on johdateltu matematiikan tekemisessä, saadaan (keinotekoisesti ehkä!) lyhyt merkintä paperilla säännölle: funktion arvo sama kuin derivaattansa arvo määrittelyalueellaan. Jos e:n arvon (käytännössä likiarvon) tilalla kokeilet jotain muuta (vaikka laskimella), huomaat, että rupee menemään vinksalleen, tuota sääntöä saat ylläpidetyksi vain täsmälleen e:llä teoriassa.
Tässä filosofioita mietiskelijälle :)