Eli pitäis integroida $[(sinx)^3]*[(cosx)^2]dx
ilmeisesti sijoitusmenetelmää käyttäen.
Mitä hyötyä on sijoitusmenetelmästä tässä? Jos sijoitan t=cosx tai t=sinx , niin eihän siitä pysty ratkaisemaan x:ää t:n suhteen mitenkään järkevästi? Tuskin muita sijoitusmahdollisuuksia edes on.
ilmeisesti sijoitusmenetelmää käyttäen.
Mitä hyötyä on sijoitusmenetelmästä tässä? Jos sijoitan t=cosx tai t=sinx , niin eihän siitä pysty ratkaisemaan x:ää t:n suhteen mitenkään järkevästi? Tuskin muita sijoitusmahdollisuuksia edes on.
Vastaukset 14
Vanhimmat
---
trigonometrian peruskaavan avulla saisin kyllä sijoitettua kaiken muun paitsi dx:n dt:n suhteen...
En edes oikeasti tajua tota sijoitusmenetelmän perimmäistä ideaa ts. miten on mahdollista käyttää muodollisia MERKINTÖJÄ dx/dt=D(g(t)) ja sitten puolittain kertoa dt:llä. Mutta lukiossahan kaikki perustuu vainoharhaiseen derivointiin ja siihen, että opetellaan tekemään samalla lailla kuin kirjan esimerkeissä joten hällä väliä?
ketään ei kiinnosta muiden merkinnät. Jokaisella on omat merkinnät ja niksit.
Ko. esityksiä tutkivien on kehitettävä todella massiivinen repertuaari merkintätapojen asflattia ottaa selkoa vahnoista kryptisistä raapustuksista.
Matemaatikot tuntuvat yleisesti vierastavan differentiaaleilla laskemista, koska ne ovat käsitteellisesti hieman löyhiä. Mutta perustellaan nyt erikseen tuo differentiaalien käyttö tässä sijoittamisessa.
Sijoitetaan x= f(t)
=> dx/dt = df(t)/dt
eli
lim (x(t)-x(t0))/(t-t0)
= lim (f(t)-f(t0))/(t-t0)
(lim nyt siis tarkoittaa raja-arvoa t->t0)
ja luonnollisesti pätee myös myös kun kerrotaan puolittain t-t0. Tämä vaatii tietysti hieman tarkempaa perustelua. Käytän tässä kuitenkin matematiikan peruskursseilla johdettua tulosta lim[g(t)h(t)] = lim[g(t)]*lim[h(t)] ja h on nyt t-t0.
eli lim[x(t)-x(t0)]
= lim[(x(t)-x(t0))/(t-t0)]*lim[t-t0]
ja kun palataan niihin differentiaalimerkintöihin, niin
dx = f'(t)dt
kysymys on siis oleellisesti siitä, että integrointimuuttuja parametrisoidaan vain uudelleen, mutta se kuitenkin käy läpi samat rajat. Ainakin Riemannin integraalia ajatellen tuo differentiaalin käsite on intuitiivisesti aika selvä, eikä merkintöjen muodollisuudesta kannata säikähtää.
Toivottavasti tämä ei sekoittanut, vaan antoi ainakin intuitiivista kuvaa siitä mitä oikeastaan laskee.
Stokastiikassa, ihan rigourin matemaattisessa sellaisessa, tykätään kovasti laskea mieluummin differentiaaleilla, koska vaikka differentiaalit on määriteltävissä, vastaavat derivaatat ei. Eli dx ja dt voi olla määritelty, mutta dx/dt ei, koska x(t) ei ole derivoituva. Taikasana tässä on Iton stokastinen integraali.
Mutta samoissa piireissä käytetään differentiaalimerkinnöille sellaista tulkintaa, että esimerkiksi merkintä
dx = f(x) dt
tarkoittaa oikeasti integraaliyhtälöä
x(t) - x(s) = int_s^t f(x(t)) dt
Puolittain dt:llä voi jakaa vain jos x(t) on derivoituva, jolloin saadaan differentiaaliyhtälö
dx/dt = f(x)
[lainaus]Mutta samoissa piireissä käytetään differentiaalimerkinnöille sellaista tulkintaa, että esimerkiksi merkintä
dx = f(x) dt
tarkoittaa oikeasti integraaliyhtälöä
x(t) - x(s) = int_s^t f(x(t)) dt [/lainaus]
Sellaisena sitä ajattelee ihan luonnostaankin joskus kun ratkaisee yhtälöä juurikin "integroimalla puolittain". Tuo ilmaus on ehkä vähän hämäävä mutta ei se mitään.
cos^2 x=(1-sin^2 x), eli integrandi on sin^3 x-sin^4 x. Nyt osittaisintegroinnilla voi ratkaista funktion sin^n x integraalin, kun n>1 on kokonaisluku. http://marauder.millersville.edu/~bikenaga/calc/parts/partex4.html
Sijoitukset u=cos(x)^3 ja u=cos(x) tuottaa ihan siedettävän näköiset integrandit (-1/3 1/3 u^{2/3} ja u^4-u^2) nopeasti Maplella katsottuna.
Alkuperäisessä kysymyksessä oli vielä huoli siitä, miten ratkaista x yhtälöstä t = cos x (tai vastaavasta). Ratkaisuun tarvitaan kosinin käänteisfunktiota, jota ei ehkä ainakaan lukiokurssilla ole tullut vastaan. Onneksi x:n ratkaiseminen ei sentään ole välttämätöntä. Voit toimia näin: Differentioi puolittain, ja saat yhtälön dt = -sin x dx. Jaa puolittain lausekkeella - sin x, jolloin saat dx = dt/(- sin x). Nyt voitkin jo sijoittaa tämän integraaliin.
Muistelin sijoitusmenetelmän käyttöä yliopistosta (diff. int I.2) ja eikös siinä ollut lause, jossa sijoitettavan funktion pitää olla aidosti monotoninen derivoituva bijetio? Kossu ei tätä ole, jos halutaan integroida yli reaaliakselin. Koska integraali on määräämätön, ei integrointia voi edes jakaa bijektiivisiin osiin kuten Riemannin integraalissa.
Kiitos tästä. Enpä tajunnut, että näinkin voi tehdä. Ja arccosineja ei tosiaankaan olla käsitelty vaikka Maolista löytyykin niistä juttua...
sin(x)*(1-cos^2(x))*cos^2(x)
(sin(x)*cos^2(x))-(sin(x)cos^4(x))
integraali: (cos^5(x)/5)-(cos^3(x)/3)
tulisi:
sijoitus: cos^2(x)=t=>cos(x)=sqrt(t)
sin^2(x)=1-t=>sin(x)=sqrt(1-t)
differentointi: -2sinxcosx*dx=dt=>
dx=-dt/(2sqrt(1-t)*sqrt(t))
sijotetaan kaikki, tulee:
(-1/2)*(1-t)*sqrt(t)dt=(-t^(1/2) t^(3/2))dt/2
ja integraali:((1/5)t^(5/2))-((1/3)t^(3/2))
ja takaisin sijoittamalla cos^2(x)=t :
(cos^5(x)/5)-(cos^3(x)/3)
Integroimisvakio C unohtui!