mahtuu suorakaiteeseen, jonka sivujen pituudet ovat a ja b?
Lukujen a ja b oletetaan olevan positiivisia reaalilukuja.
Äkkipäätään voisi olettaa vastauksen olevan [a][b], missä [x] tarkoittaa luvun x kokonaisosaa (ns. Floor-funktio), mutta onko näin todella?
Miten väite voitaisiin todistaa?
Jos väite ei pidä paikkaansa, niin minkälainen olisi yksinkertaisin mahdollinen vastaesimerkki?
Lukujen a ja b oletetaan olevan positiivisia reaalilukuja.
Äkkipäätään voisi olettaa vastauksen olevan [a][b], missä [x] tarkoittaa luvun x kokonaisosaa (ns. Floor-funktio), mutta onko näin todella?
Miten väite voitaisiin todistaa?
Jos väite ei pidä paikkaansa, niin minkälainen olisi yksinkertaisin mahdollinen vastaesimerkki?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Laske montako hilapistettä ruudukko sisältää, suorakulmion yksi kärki on origossa ja sivut koordinaattiakselien suuntaiset. Voit myös koittaa induktiota luvun [a] suhteen.
Tarkastellaan (3-epsilon) x (3-epsilon) -ruudukkoa, missä epsilon on pieni positiivinen reaaliluku.
Jos väite pitäisi paikkansa, niin tähän ruudukkoon mahtuisi 2 x 2 = 4 kokonaista 1 x 1 -ruutua.
Jos kuitenkin otetaan neljä 1 x 1 -ruutua tuon (3-epsilon) x (3-epsilon) -ruudukon kulmista, keskelle jää alue, johon on mahdollista sijoittaa vinoittain (45 asteen kulmaan) sivuiltaan sqrt(2)(1-epsilon) suuruinen neliö. Se ylimääräinen 1 x 1 -neliö mahtuu siis keskelle, kunhan epsilon on pienempi tai yhtäsuuri kuin 1-1/sqrt(2) (likimain 0.2928932).
Tulipas tuossa hätäiltyä. Toistaiseksi tehtävälle ei tunneta ratkaisua. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Tehtävä on yleisempi kuin määrittää pienimmän sellaisen neliön sivun pituus, johon voi sijoittaa n yksikköneliötä. Monella n:n arvolla tähän ongelmaan ei tiedetä ratkaisua, pienimpänä n=11. http://mathworld.wolfram.com/SquarePacking.html