Eli lyhyesti ja ytimekkäästi kuinka diagonalisoin esim. 3x3-matriisin?
Diagonalisointi
321
3593
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Eikös matriisin diagonalisointi ole sen verran peruskauraa, että kaikista lineaarialgebran alkeiden luentomonisteista ja oppikirjoista löytyy yksityiskohtaiset ohjeet? Jos oppikirjaa ei löydy, niin vilkaise jonkin korkeakoulun lineaarialgebran kotisivuilta sopiva luentomateriaali.
Jos osaat määrittää matriisin ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisvektorit, niin sitten asia muuttuu helpommaksi. Jos Matriisin A diagonalisoidaan matriisilla O siten että diagonalisoitu matriisi on O^(T)AO, niin diagonalisoivan matriisin O saat yksinkertaisesti latomalla ominaivektorit matriisin O sarakkeiksi.
O^(T) on siis O:n transpoosi, ja ominaivektorit pitää normittaa. Perustelut löydät niistä oppikirjoista tai luentomonisteista.
Näköjään kirjoitin vahingossa O^(-1), eli O:n käänteismatriisin sijaan O:n transpoosin. Ne eivät tietenkään yleisesti ottaen ole samat, ellei O satu olemaan ortogonaalinen. O on ortogonaalinen jos A on reaalinen ja symmetrinen, kuten usein tietyntyyppisissä sovelluksissa. Siksi lipsahti.
Kaikki matriisit muuten ei diagonalisoidu. Jos nxn matriisin ominaisvektoreista saa koottua lineaarisesti riippumattoman joukon, niin silloin se onnistuu. Aina se ei onnistu.
Jos käytössäsi ei ole sopivaa ohjelmistoa, joka diagonalisoi automaattisesti, niin pitää ensin ratkaista ominaisarvot kolmannen asteen polynomiyhtälöstä, sitten määrittää kuhunkin ominaisarvoon liittyvä jokin ominaisvektori (kolme lineaarista, muttei riippumatonta yhtälöä) muodostaa ominaisvektorreista 3 x 3-matriisi; kerrotaan sitten alkuperäinen matriisi toiselta puolelta tälla matriisilla ja toiselta puolelta käänteismatriisilla.