Osoita, että kaikilla parven x^2 y^2 - 2ax - 4ay= 5 -10a ympyröillä on täsmälleen yksi yhteinen piste. Mikä tämä piste on?
Muunsin ympyräparven yhtälön keskipistemuotoon, kas näin:
(x-a)^2 (y-2a)^2 = [sqrt(5)(a-1)]^2
Katsoin vastauksen kirjan takaa ja ympyröiden ainoa piste on (1,2). Toisaalta tosta keskipistemuodosta näkee, että mielivaltasen ympyrän keskipiste on (a,2a). Niillä on pakko olla joku yhteys mutta en tajua? Auttakaa?
Muunsin ympyräparven yhtälön keskipistemuotoon, kas näin:
(x-a)^2 (y-2a)^2 = [sqrt(5)(a-1)]^2
Katsoin vastauksen kirjan takaa ja ympyröiden ainoa piste on (1,2). Toisaalta tosta keskipistemuodosta näkee, että mielivaltasen ympyrän keskipiste on (a,2a). Niillä on pakko olla joku yhteys mutta en tajua? Auttakaa?
Vastaukset 8
Vanhimmat
ympyrä kokeeksi jollain sopivalla softalla taikka käsin sopivan yksinkertaisilla arvioilla
Lähtisin siitä liikkeelle, että tuon a:n vaikutus pitäisi eliminoida, jotta jokin yhtälön ratkaisun pisteistä voi olla yhteinen kaikille. Jos kasaa a:n kertoimet tuossa yhtälössä yksiin sulkeisiin ja olettaa sen nollaksi, niin silloin saat kaksi yhtälöä x:lle ja y:lle. Ja todellakin vain yksi ratkaisu tuosta löytyy.
Sijoittamalla a:n tilalle b:n (joka on erisuuri kuin a) saamme yhtälöparin
x^2 y^2 - 2ax - 4ay = 5 - 10a
x^2 y^2 - 2bx - 4by = 5 - 10b
Vähentämällä jälkimmäisen yhtälön ensimmäisestä saamme
2bx-2ax 4by-4ay = 10b-10a,
josta edelleen
2(b-a)x 4(b-a)y = 10(b-a)
Jakamalla nollasta eroavalla luvulla b-a saamme
2x 4y = 10,
josta edelleen
x = 5-2y
Sijoittamalla tämän ensimmäiseen yhtälöön saamme
(5-2y)^2 y^2 - 2a(5-2y) - 4ay= 5 -10a
ja
25-20y 4y^2 y^2-10a 4ay-4ay = 5-10a
Vakion a sisältävät termit häviävät, ja saamme
5y^2-20y 20 = 0
y^2-4y 4=0
(y-2)^2 = 0
y = 2
Sijoittamalla tämän yhtälöön x=5-2y saamme x = 1
Siis x=1 ja y=2
Tarkistus onnistuu helposti sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön.
kutistat tuon säteen tuosta yhtälöstäsi 0:ksi, eli
(a-1)=0, a= 1.
Sitten tuosta (a,2a):sta päättelet, mitä päättelet...
konsti löytää se yhteinen piste, kunhan sen olemassaolo tiedetään.
Tämän lisäksi tarvitaan kuitenkin sijoitus siihen alkuperäiseen yhtälöön yleisellä a:n arvolla, jotta voidaan todeta sen pisteen todella olevan kaikille yhteinen.
Jotain piti keksiä ihan tuon takia.
Roosalle terveisiä etelän fogeleilta!
Ton Sinisalon ratkasun tajusin, en oivaltanut lähteä tekemään noin mekaanisesti vaan itse sitä. Mutta mihin perustuu yhteisten pisteiden löytäminen jos säteen olettaa 0:ksi? Melkein tajuan mutta en ihan, voiko vääntää rautalangasta?
näyttää olevan ympyräparvi, jonka säteistö näyttää kulkevan nollaan, niin tuo ympyrystö kulkee kohti pistettä: voi siis kokeilla, josko tuo rajapiste toimii. Tietenkin pitää sitten vielä hoitaa asia loppuun.
Olit ansiokkaasti muokannut tuon ympyrän perusyhtälön, mikä on se varmin ja paras konsti, koska se yleensä toimii aina. Eli olit ja tienannut suuren osan pisteistä!
Usein ratkaisu on näkemistä, eli "huomaat", että (a=1)&(a,2a)=>x=1,y=2 tuossa sinun ympyrän yhtälössäsi antaa toden lauseen, joten kannatta kokeilla.
Huomaat tuosta keskipisterelaatiosta (a,2a), että ympyröiden keskipisteet sijaitsevat viivalla y=2x ja varmaan näetkin jo sielusi silmillä nuo ympyrät.
Missähän niiden yhteinen piste voisi sijaita?
Matikassa, kuin muissakin lajeissa on nuo kaksi tapaa:
Analyysi, eli opiskelu ja algoritmien harjoittelu ja deduktiivisen tiedon tuotto, esimerkkiksi derivointisäännöt.
Sittenkun kokemusta karttuu kehittyy näkökyky ja tietoa voi tuottaa synteesin avulla: esimerkiksi integraalifunktion keksiminen, elektroniikassa piirisynteesi jne. Tulos tietenkin verifioidaan.