Sijoitusmenetelmällä integroikaa S(1/sinx)dx 0
Pieni integraali
hhhhhhhhmmmmmhm
2397
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 2
Vanhimmat
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
t=tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=>sin(x/2)=t*cos(x/2)
sinx=2t*cos^2(x/2)
dt=dx*(0,5cos^2(x/2) 0,5sin^2(x/2))/cos^2(x/2)=
dx/(2cos^2(x/2))=>dx=2cos^2(x/2)dt
S(dx/sinx)=2cos^2(x/2)dt/(2tcos^2(x/2))=dt/t
integraali on ln(t) C
ja takaisin sjoittamalla ln(tan(x/2)) C
t=tan(x/2)
Sinx=2sin(x/2)cos(x/2), jaetaan ja kerrotaan cos(x/2):lla, tulee
Sinx=2tan(x/2)cos^2(x/2)
Sitten kaavaa cos^2(x/2) sin^2(x/2)=1 muokataan muotoon
Cos^2(x/2)*(1 tan^2(x/2))=1, josta ratkaistaan
Cos^2(x/2)=1/(1 tan^2(x/2)), joka sijoitetaan sinx:ään ja tulee
Sinx=2tan(x/2)/(1 tan^2(x/2), joka on 2t/(1 t^2)
Differentioidaan t, tulee dt=dx/(2cos^2(x/2)), josta dx=2dt/(1 tan^2(x/2))=2dt/(1 t^2)
Integraali S(dx/sinx)=S((2dt/(1 t^2))*(1 t^2)/2t)= S (dt/t), eli
ln(t) C (tässä pitäisi olla t:n itseisarvo, mutta määrittelyjoukon takia ei tarvita)
Ja kysytty integraali takaisin sijoittamalla: S dx/sinx=ln(tan(x/2)) C