olkoon k>0 ja k =/ 1 (eri suuri kuin 1). osoita, että:
a. log_1/k_x=-log_k_x
b. log_k^2_x=1/2 log_k_x
c. ilmaise funktio log_k^r_x. missä r on eri suuri kuin 0, funktion log_k_x avulla.
tuon a ja b kohdan jotenki osaan ku pyörittelen niitä lukuja siinä nii se semmosen muotoon ku vastaus on. mutta en silti 100% syvällisesti ymmärrä sitä.
esim. tuosa a kohdassa on kirjan takana, että jos x=k^y , niin x=(1/y)^-y. tajuan kyllä nuo merkinnät mutta miten ne laskemalla saa osoitettua semmosesti hienosti.
ja sitte vielä toinen
samat oletukset ku alussa a>0 ja a erisuuri kuin 1/k. osoita, että
log_ab_x=(log_k_x)/(1 log_k_a)
avittakaas vähän. pyrin aina siihen että ymmärtäisin tehtävän 100% tai ainaki melkeen enkä vain tyydy siihen että lukuja pyörittelemällä tulee oikea vastaus. :D
a. log_1/k_x=-log_k_x
b. log_k^2_x=1/2 log_k_x
c. ilmaise funktio log_k^r_x. missä r on eri suuri kuin 0, funktion log_k_x avulla.
tuon a ja b kohdan jotenki osaan ku pyörittelen niitä lukuja siinä nii se semmosen muotoon ku vastaus on. mutta en silti 100% syvällisesti ymmärrä sitä.
esim. tuosa a kohdassa on kirjan takana, että jos x=k^y , niin x=(1/y)^-y. tajuan kyllä nuo merkinnät mutta miten ne laskemalla saa osoitettua semmosesti hienosti.
ja sitte vielä toinen
samat oletukset ku alussa a>0 ja a erisuuri kuin 1/k. osoita, että
log_ab_x=(log_k_x)/(1 log_k_a)
avittakaas vähän. pyrin aina siihen että ymmärtäisin tehtävän 100% tai ainaki melkeen enkä vain tyydy siihen että lukuja pyörittelemällä tulee oikea vastaus. :D
Vastaukset 3
Vanhimmat
Logaritmilla ratkaistaan eksponenttiyhtälöitä. Mieti, minkä yhtälön ratkaisu on log_1/k_x. (En tiedä, mitä koitat tuolla sanoa, 1-kantainen logaritmi luvusta /k_x?). Kun muunnat logaritmit sitä vastaaviksi eksponenttiyhtälöiksi, voit osoittaa kaavat potenssien laskusääntöjen avulla. Tämä on yleispätevä menetelmä.
että 1/k-kantainen logaritmi luvusta x
Johdatusta:
Käytetään tuota käänteisfunktio-ominaisuutta:
k^log_k_x =x.
k^() on log_k():n käänteisfunktio ja toisinpäin. Käänteisfunktio on siis tuo, että "tehdään assiat takaperin": g on f:n käänteisfunktio kun g(f(x)) = x kaikilla x ja f(g(y)) = y kaikilla y (=f(x)).
Yleensähän eksponenttifunktio e^(x)määritellään ensin esimerkiksi sarjakehitelmän avulla ja logaritmifunktio sitten eksponenttifunktion käänteisfunktiona.
Potenssifunktio a^x voidaan sitten määritellä eksponenttifunktion ja logaritmifunktion avulla. a^x ={a}^x {e^[ln(a)]}x = e^[ln(a)x].
Lukiossa kai lähdetään kuitenkin suoraan a^n, n luonnollinen luku, joka laajennetaan vähitellen koko lukualueeseen.
Johdatus loppu.
:= merkitse käytetään määritelmää.
a)
log_k_x := log_k [(1/k)^log_1/k_x] = log_1/k_x *log_k (1/k) = log_1/k_x *(0-log_k(k)) = -log_1/k_x *1
ja tästä väite kertomalla koko ketju -1.
b)
log_k_x := log_k_[(k^2)^log_k^2_x] = log_k^2_x*log_k_k^2 = log_k^2_x * 2* log_k_k = 2* log_k^2_x
ja tästä väite jakamalla koko ketju 2:lla.
c)
log_k_ x := log_k[(k^r)^log_k^r_x] = log_k^r_x*log_k_[k^r].
Tästä:
log_k^r_x = log_k_x / log_k_[k^r]
Tuossa lopussa taitaa olla kirj.vihreitä:
"
esim. tuosa a kohdassa on kirjan takana, että jos x=k^y , niin x=(1/y)^-y. tajuan kyllä nuo merkinnät mutta miten ne laskemalla saa osoitettua semmosesti hienosti.
"
pitää varmaan olla: x=k^y ,niin x=(1/k)^-y
= (k^-1)^-y = k^(-1*-y)= k^y, k!=0.
Tätäpä en viitti enää korjata b mättää:
"
ja sitte vielä toinen
samat oletukset ku alussa a>0 ja a erisuuri kuin 1/k. osoita, että
log_ab_x=(log_k_x)/(1 log_k_a)
"
No ehkä:
log_ka_x = (log_k_x)/[log_k_(k*a)] = (log_k_x)/[log_k_k log_k_a] =(log_k_x)/(1 log_k_a).
Enenpää en.
...No ehkä:
menee kuten c. eli alkaa
log_k_x := log_k_[ka^log_ka_x] = log_ka_x*log_k_ka =>
log_ka_x = log_k_x/log_k_ka =...
Nyt kyllä loppu.