1. Jos renkaassa R ei ole nollan jakajia, ja R on kommutatiivinen, niin R on kokonaisalue.
- Jos a, b kuuluvat R:ään, a ja b ovat erisuuria kuin 0, ja ab=0, niin a ja b ovat nollan jakajia. En keksi mitään esimerkkiä tuollaisesta renkaasta, joka EI olisi kokonaisalue.
2. Jos kaikki renkaan R nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin R on vino kunta eli jakorengas.
- Mitä tarkoittaa että kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä? Mikä on yksikkö? Mistä tuo nimitys tulee ja keksitkö mitään esimerkkiä jakorenkaasta?
- Jos a, b kuuluvat R:ään, a ja b ovat erisuuria kuin 0, ja ab=0, niin a ja b ovat nollan jakajia. En keksi mitään esimerkkiä tuollaisesta renkaasta, joka EI olisi kokonaisalue.
2. Jos kaikki renkaan R nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin R on vino kunta eli jakorengas.
- Mitä tarkoittaa että kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä? Mikä on yksikkö? Mistä tuo nimitys tulee ja keksitkö mitään esimerkkiä jakorenkaasta?
Vastaukset 5
Vanhimmat
1. Keksit esimerkin renkaasta, joka ei ole kokonaisalue, kun ajattelet jäännösluokkarenkaita.
2. Yksikkö on sama kuin kääntyvä alkio. Ts. yksiköllä on käänteisalkio. En heti keksi esimerkkiä vinosta kunnasta, joka ei olisi kunta. Googleta "skew field", niin apua löytynee.
"2. Jos kaikki renkaan R nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin R on vino kunta eli jakorengas. "
Ei jakorengas ja vinokunta ole synonyymejä!
Ainakin tämän monisteen (Parkkonen 2007) ja Wikipedian (http://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring) mukaan ne ovat.
"Yleensä nimitystä vino kunta käytetään vain sellaisista jakorenkaista, jotka eivät ole kuntia..."
Terminologia on horjuvaa. Van der Waerdenin klassisessa Algebrassa vinokunta (Schiefkörper) on rengas, jossa yhtälöillä ax = b ja ya = b on ratkaisut, kun a on nollasta eroava. Jos renkaan kertolasku on lisäksi kommutatiivinen, rengas on kunta. Van der Waerden huomauttaa, että jotkut sanovat kaikkia vinokuntia kunniksi ja ottavat sitten käyttöön termin kommutatiivinen kunta hänen (ja meidän) kunnaksi kutsumalle objektille.
algebra on ilmestynyt vuonna 1930. Tästä on lähes 80 vuotta kulunut. Teoksessaan Van der Waerden viittaa tuolloin vallinneeseen horjuvaan käytäntöön tämän terminologian suhteen. Itse olen ymmärtänyt, että nykyisin termi 'kunta' tarkoittaa nimenomaan sellaista kokonaisaluetta, jonka multiplikatiivinen ryhmä on kommutatiivinen ts. kertolasku on vaihdannainen. Olisiko Van der Waerdenin teoksen ilmestymisen jälkeen yleisesti hyväksytty hänen valitsemansa terminologia.
Sinänsä tällainen 'vinokunta' on mielestäni kieliopillisesti hassu termi, koska se ei välttämättä lisää 'kunnan' ominaisuuksiin mitään, vaan päinvastoin vähentää. Mutta tällainenhan on historiallisista syistä varsin yleistä matematiikassa ja muillakin tieteenaloilla.
Ajatellaanpa vaikka termiä 'punainen auto'. Tällöin adjektiivi 'punainen' on lisämääre, joka vähentää kysymykseen tulevien objektien lukumäärää. Punaisia autoja on vähemmän kuin yleensä autoja. Samalla tavalla 'vinokuntia' voitaisiin olettaa olevan vähemmän kuin 'kuntia', joista vinokunnat olisivat erikoistapauksia.
Päinvastoin kuin matematiikalle (Toivon niin!) matemaattiselle terminologialle ei olekaan loppujen lopulta ominaista looginen johdonmukaisuus.
Ehkä tästä löytyy perussyy siihen, että matemaatikot ovat usein kielellisesti lahjakkaiden ihmisten kannalta vaikeaselkoisia.