Jos Maapallo pysähtyisi radalleen niin kuinka suurella nopeudella Maa alkaisi putoamaan Aurinkoa kohti, tai kauanko törmäykseen kuluisi aikaa, noin?
Jos Maapallo
pysähtyisi
8731
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
putoamaan. Aluksi nopeus olisi tietenkin täysi nolla ja siitä se sitten kiihtyisi.
Kauanko aikaa kuluisi... seuraavalla laskimella voi asian laskea:
http://www.gravitycalc.com/The Sun
Noin 64 päivää 12 tuntia
http://curious.astro.cornell.edu/question.php?number=674
http://www.physlink.com/Education/AskExperts/ae226.cfm
Integroidaan tuplasti kiihtyvyyttä
d^2r(t)/dt^2 =-GM/r^2, (rajat oikealla r(0)=R, r(t)=r)
eikä vakiokiihtyvyyttä g_aurinko.
M on auringon massa G gravitaatiovakio.
Vakiokiihtyvyys pätee vain pienellä alueella lähellä auringon (maan) pintaa.
Maassahan g vaihtelee jo navoilla ja ekvaattorilla.
tuo laskin olettaa vakion g_sun, joka ei ole totuus ko. tapauksessa. Se pätee vain lähellä auriongon pintaa. Lisäksi maapallon etäisyys aurinkooon vaihtelee, joten sekin pitää vielä huomioida, jos oikein tarkkaan haluaa laskea.
Mutta noilla eväillä tehtävä ratkeaa...
ainakin 30 päivää aikaa syödä juoda ja naida eikä tarttis töissäkään käydä.
Tuosta tehtävänasettelusta saa helposti differentiaaliyhtälön. Sen ratkaisu osoittautui ensimmäisenä mieleen tulevalla keinolla ikäväksi.
yhtälö:
d²x/dt² = GM/x²
d²x/dt² = dx'/dt = dx'/dx * dx/dt = dx'/dt * x'
Saatiin separoituva yhtälö:
dx'/dt*x' = GM/x²
dx'*x' = GMdx/x²
josta puolittain integroimalla ja vähän muokkaamalla
x'=sqrt(2GM/x c)
alkuehdolla x'(x0) = 0 saadaan c= -2GM/x0
x' = dx/dt = sqrt(2GM(1/x-1/x0)
josta sadaan
dx/sqrt(2GM(1/x-1/x0)) = dt
Josta integroimalla selviää t x:n funktiona.
Integroiminen onnistuu sijoituksella 1/x-1/x0 = y, jolloin integrointi muuttuu helpoksi. Mutta itselläni kiinnostus alkoi lopahtamaan tässä vaiheessa. Pitäisi vielä takaisin sijoittaa saatuun tulokseen y(x) ja sitten pitäsi löytää käänteisfunktio, jotta t = t(x) saataisiin muotoon x = x(t).
Jos joku osaa näppärämmän keinon tms, niin kertokoon. Joskus yksinkertainenkin asia voi olla hankala.
Jos lukuarvoista on kiinnostuneempi kuin ratkaisusta, niin sitten tuon alkuperäisen differentiaaliyhtälön voi ratkaista numeerisesti vaikkapa kirjoittamalla pieni koodin pätkä. Nyt en jaksa vaivautua.
Kirjoitin paperilta näköjään vahingossa sen alkuosan vähän väärin.
[b]yhtälö:
d²x/dt² = GM/x²
d²x/dt² = dx'/dt = dx'/dx * dx/dt = dx'/dt * x'
Saatiin separoituva yhtälö:
dx'/dt*x' = GM/x² [/b]
Piti olla:
yhtälö:
d²x/dt² = GM/x²
d²x/dt² = dx'/dt = dx'/dx * dx/dt = dx'/dx * x'
Saatiin separoituva yhtälö:
dx'/dx*x' = GM/x²
Ja loopu olikin jo oikein. No ei sillä niin väliä. Luulen ettei monikaan jaksa tarkistella toisten laskuja.
Tietysti tuohon samaan lausekkeeseen olisi päätynyt pienemmällä kikkailulla energiaperiaatteestakin.
No joo, jos laskee tuon integraalin loppuun sillä sijoituksella ja sitten takaisin sijoituksella, niin siinähän se vastaus onkin.
Itse en jaksa numeroarvoista olla niin kiinnostunut, vaan riittää, että vastaus on saatavissa.