Selvästikin jakauman varianssi (tai keskihajonta) ja keskiarvo ovat riippumattomat, mutta miten se todistetaan?
varianssi vs. ka
tyhymeli
12454
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
on määritelmästä. Ei sitä tarvitse mitenkään todistaa.
Kuinka niin määritelmästä?
Häh, siis esimerkiksi Poisson-jakauman keskiarvo ja varianssi ovat yhtäsuuret - miten ne voisivat olla riippumattomia?
"...esimerkiksi Poisson-jakauman keskiarvo ja varianssi ovat yhtäsuuret - miten ne voisivat olla riippumattomia?"
Meinaatko että yhtäsuuruudesta jotenkin seuraa riippuvuus? Miten?
Olkoon k keskiarvo, nyt voidaan hajonta h esittää
k funktiona joten ne ovat riippuvia (täysin riippuvia korrelaatio 1).
h(k)=k.
Yleisessä tapauksessa sinun tulisi osoittaa
että keskiarvo, joka on satunnaismuuttuja K jakauma f ja hajonta, joka on satunnaismuuttuja H jakauma g ehdolliset todennäköisyydet ovat voimassa f(K|H=h)=f(K) ja g(H|K=k)=g(H)
Jos kyseessä on normaalijakauma, niin riittää näyttää, että Cov(K,H)=0.
Riittää näyttää
E(Ex*Vx)= EEx*EVx, jos tuo edellinen pitää paikkansa, eli
{ (Ex ja Vx ~Normaali) & [E(Ex*Vx)= EEx*EVx]} => riippumattomuus. (*)
Eli tällöin sujuu operaattori tasolla. (E ja Ex kommutoivat eli Ex E[(...)] = E[Ex(...)].
Vx hän on = E(x^2)-(Ex)^2
Yleisesti ottaen pätee:
x riippumaton y:stä => Exy = ExEy ,
mutta käänteinen ei eli:
Exy = ExEy :stä ei välttämättä seuraa riippumattomuus.
(*)
Tuolla on tuommoinen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Normally_distributed_and_uncorrelated_does_not_imply_independent
on harjoituskokoelma, jossa osoitetaan, että väite pätee otoskeskiarvolle ja -varianssille, kun otos on normaalijakaumasta.
http://www.fmi.uni-sofia.bg/vesta/Virtual_Labs/sample/sample6.html
Tuolla on mainittu yksilöidymmin:
http://www.sci.csueastbay.edu/statistics/Resources/Essays/mvindep.htm
Huomaa tuo "...holds only for normal data..."
Se kannattaa muistaa aina kun otoksia analysoidaan: onko data normaalista.
"
For random observations X1, X2, X3, ..., Xn from a normal population, the sample mean and the sample variance are independent random variables. Because the sample standard deviation is the square root of the sample variance, it is also independent of the sample mean.
This independence may seem strange because both the mean and the variance (or standard deviation) are computed from the same observations. In fact, the independence of these two sample statistics holds only for normal data. There are several well-known formal proofs of this result, most of them based on the theory of linear transformations of multivariate distributions. (See, for example, Stuart and Ord: Kendall's Advanced Theory of Statistics: Vol. 1, Distribution Theory, 1987, Oxford University Press, Section 11.3.)
"
Onneksi valitsin kuvaavan pseudonyymin... Tämä vaatikin tosiaan normaalijakauman.
Voisiko joku valaista miksi normaalijakauma vaaditaan? Ei ainakaan suoriltaan valkene.
Normaalijakauma oletuksella
Keskiarvo ja hajonta riippumattomat jos ja vain jos Cov(keskiarvo,hajonta)=0.
Mutta toimisiko tuo myös jollain toisellakin jakauma oletuksella en osaa sanoa. Eli jos nollakovarianssi implikoi riippumattomuuden niin oltava normaalijakauma?
... klassinen tilastotiedehän on normaalijakauman pyöritystä, ja jos kovarianssi (ja siitä normeerattu korrelaatio) on 0, niin varianssi ja keskihajonta ovat periaatteessa riippumattomia. Mutta eikö tuo itse asiassa ole triviaalitapaus?
Kuinkas, jos joku ei-parametrinen järjestyskorrelaatio (Spearman, Kendall) poikkeaa nollasta? Nämähän eivät perustu varianssin käsitteeseen, mutta toisaalta Spearmanin rho-kerroin on sama kuin järjestysluvuista laskettu r (korrelaation otosestimaattori). Joku kytkentä tuossa varianssiin siis on, liekö kukaan miettinyt?
Kunhan nyt heitin ...
In fact, the independence of these two sample statistics holds ONLY for normal data. There are several well-known formal proofs of this result, most of them based on the theory of linear transformations of multivariate distributions. (See, for example, Stuart and Ord: Kendall's Advanced Theory of Statistics: Vol. 1, Distribution Theory, 1987, Oxford University Press, Section 11.3.)