Ympyrän yhtälö

Yhtälö on: x^2 y^2 12x = 0 lisätään ja vähennetään 6^2: x^2 12x 6^2 - 6^2 y^2 = 0 huomataan, että vasemmanpuoleiset kolme termiä muodostavat neliön, jolloin (x 6)^2 y^2 = 6^2 eli keskipiste on (0,-6) ja säde 6.

jummi2 kirjoitti:

Yhtälö on: x^2 y^2 12x = 0 lisätään ja vähennetään 6^2: x^2 12x 6^2 - 6^2 y^2 = 0 huomataan, että vasemmanpuoleiset kolme termiä muodostavat neliön, jolloin (x 6)^2 y^2 = 6^2 eli keskipiste on (0,-6) ja säde 6.

Lue lisää

Hienosti täydennetty, mutta vastaus on silti valitettavasti väärin, koska ympyrän säde ei siis voi olla negatiivinen. Voihan yhtälöön lisätä erilaisia termejä hatusta, ja sitten väittää, että negatiivinen ympyrän halkaisija on ihan reaalinen ratkaisu. Jos yhtälöä x^2 y^2 12x = 0 käsitellään oikein, saadaan: x^2 y^2 = - 12x | :x => x y^2/x = -12 Havaitaan heti, että yhtälön oikea puoli on negatiivinen, jolloin voidaan heti kohta tehdä johtopäätös, että yhtälö on mahdoton. Mainittakoon vielä, että neliöksi täydentäminen onnistuu esimerkiksi yhtälöllä: 17x^2 16xi 19y^2 13x = 0 => 17x^2 x(16i 13) 19y^2 = 0 => x^2 x(16i 13)/17 19/17y^2 = 0 => x^2 2*x((16i 13)/17)/2 19/17y^2 = 0 | (16i 13)/34)^2 => (x (16i 13)/34)^2 19/17y^2 = (16i 13)/34)^2 Tässä tapauksessa ympyrän keskipiste olisi ilmeisesti koordinaatissa: (-(16i 13)/34, 0), ja ympyrän säde olisi suunnilleen (16i 13)/34. Mutta että ympyrän säde olisi -12, niin se tunnu kovinkaan uskotavalta.

varamooses kirjoitti:

Hienosti täydennetty, mutta vastaus on silti valitettavasti väärin, koska ympyrän säde ei siis voi olla negatiivinen. Voihan yhtälöön lisätä erilaisia termejä hatusta, ja sitten väittää, että negatiivinen ympyrän halkaisija on ihan reaalinen ratkaisu. Jos yhtälöä x^2 y^2 12x = 0 käsitellään oikein, saadaan: x^2 y^2 = - 12x | :x => x y^2/x = -12 Havaitaan heti, että yhtälön oikea puoli on negatiivinen, jolloin voidaan heti kohta tehdä johtopäätös, että yhtälö on mahdoton. Mainittakoon vielä, että neliöksi täydentäminen onnistuu esimerkiksi yhtälöllä: 17x^2 16xi 19y^2 13x = 0 => 17x^2 x(16i 13) 19y^2 = 0 => x^2 x(16i 13)/17 19/17y^2 = 0 => x^2 2*x((16i 13)/17)/2 19/17y^2 = 0 | (16i 13)/34)^2 => (x (16i 13)/34)^2 19/17y^2 = (16i 13)/34)^2 Tässä tapauksessa ympyrän keskipiste olisi ilmeisesti koordinaatissa: (-(16i 13)/34, 0), ja ympyrän säde olisi suunnilleen (16i 13)/34. Mutta että ympyrän säde olisi -12, niin se tunnu kovinkaan uskotavalta.

Lue lisää

" x y^2/x = -12

Havaitaan heti, että yhtälön oikea puoli on negatiivinen, jolloin voidaan heti kohta tehdä johtopäätös, että yhtälö on mahdoton."


ensinnäkin pitää varmistua ettei suoritettu nollalla jakamista.

Toisekseen kyseinen yhtälö ei ole mahdoton, esim. x=-1, y=SQRT(11) toteuttaa yhtälön, eli siis piste (-1, SQRT(11) ) on piste ympyrän kehällä.

Neliöksi täydentäminen on se tapa jolla ympyrän yhtälöä käsitellään aina. Ellipsissä tulisi ottaa huomioon myös akselien suunnat, mutta tuollaienn pääakseliprobleema ratkeaa mukavasti matriisien ominaisarvoilla jos on joskus tarpeen moista ratkaista.

varamooses kirjoitti:

Hienosti täydennetty, mutta vastaus on silti valitettavasti väärin, koska ympyrän säde ei siis voi olla negatiivinen. Voihan yhtälöön lisätä erilaisia termejä hatusta, ja sitten väittää, että negatiivinen ympyrän halkaisija on ihan reaalinen ratkaisu. Jos yhtälöä x^2 y^2 12x = 0 käsitellään oikein, saadaan: x^2 y^2 = - 12x | :x => x y^2/x = -12 Havaitaan heti, että yhtälön oikea puoli on negatiivinen, jolloin voidaan heti kohta tehdä johtopäätös, että yhtälö on mahdoton. Mainittakoon vielä, että neliöksi täydentäminen onnistuu esimerkiksi yhtälöllä: 17x^2 16xi 19y^2 13x = 0 => 17x^2 x(16i 13) 19y^2 = 0 => x^2 x(16i 13)/17 19/17y^2 = 0 => x^2 2*x((16i 13)/17)/2 19/17y^2 = 0 | (16i 13)/34)^2 => (x (16i 13)/34)^2 19/17y^2 = (16i 13)/34)^2 Tässä tapauksessa ympyrän keskipiste olisi ilmeisesti koordinaatissa: (-(16i 13)/34, 0), ja ympyrän säde olisi suunnilleen (16i 13)/34. Mutta että ympyrän säde olisi -12, niin se tunnu kovinkaan uskotavalta.

Lue lisää

"=> x y^2/x = -12

Havaitaan heti, että yhtälön oikea puoli on negatiivinen, jolloin voidaan heti kohta tehdä johtopäätös, että yhtälö on mahdoton."

Niin mitä siitä, että oikea puoli on negatiivinen voidaan päätellä!
Ei mitään, sillä vasen puolikin voi olla negatiivinen. Esim. x=-12 ja y = 0.

Eli kyllä tuo yhtälö esittää ympyrää. Sinä et vaan osaa..

jummi2 kirjoitti:

Yhtälö on: x^2 y^2 12x = 0 lisätään ja vähennetään 6^2: x^2 12x 6^2 - 6^2 y^2 = 0 huomataan, että vasemmanpuoleiset kolme termiä muodostavat neliön, jolloin (x 6)^2 y^2 = 6^2 eli keskipiste on (0,-6) ja säde 6.

Lue lisää

Oikein meni:
http://tinyurl.com/qpw3yt

x^2 y^2 12x = 0

x^2 12x y^2 = 0

x^2 2*6*x y^2 = 0 II 6^2 eli summataan 6^2 yhtälön molemmille puolille

x^2 2*6*x 6^2 y^2 = 6^2 II neliöidään

( x 6 )^2 ( y - 0 )^2 = 6^2

[ x - (-6)] ^2 ( y - 0 )^2 = 6^2

Eli keskipiste on (-6,0) ja säde r = 6, koska ympyrän yhtälö on muotoa
( x - xo )^2 ( y - yo )^2 = r ^2 , jossa (xo,yo) on ympyrän keskipiste ja r sen säde.

Olikohan tuo tarpeeksi rautalangasta väännetty... - mooseksille sun muillekin...?
Pakko oli kommentoida nähtyäni tämän, että oikeakin vastaus tulisi kirjattua, vaikka vuosia onkin väärää tekstiä täällä ollut.

Terveisin matematiikan ope.
P.S. Olisi kiva, jos ei höpöjä kirjoiteltaisi, ettei tarvitse sitten oppilaiden papereista samaa höpöä lueskella... Eli toivottavasti omat kullannuput eivät ole tällä sivulla tätä ennen käyneet... :-/

Huhhuh1 kirjoitti:

x^2 y^2 12x = 0

x^2 12x y^2 = 0

x^2 2*6*x y^2 = 0 II 6^2 eli summataan 6^2 yhtälön molemmille puolille

x^2 2*6*x 6^2 y^2 = 6^2 II neliöidään

( x 6 )^2 ( y - 0 )^2 = 6^2

[ x - (-6)] ^2 ( y - 0 )^2 = 6^2

Eli keskipiste on (-6,0) ja säde r = 6, koska ympyrän yhtälö on muotoa
( x - xo )^2 ( y - yo )^2 = r ^2 , jossa (xo,yo) on ympyrän keskipiste ja r sen säde.

Olikohan tuo tarpeeksi rautalangasta väännetty... - mooseksille sun muillekin...?
Pakko oli kommentoida nähtyäni tämän, että oikeakin vastaus tulisi kirjattua, vaikka vuosia onkin väärää tekstiä täällä ollut.

Terveisin matematiikan ope.
P.S. Olisi kiva, jos ei höpöjä kirjoiteltaisi, ettei tarvitse sitten oppilaiden papereista samaa höpöä lueskella... Eli toivottavasti omat kullannuput eivät ole tällä sivulla tätä ennen käyneet... :-/

Lue lisää

Ne omat kullannuppusi käyvät täällä siksi, kun et osaa opettaa heille matematiikkaa.

Tavallisen oppilaan ymmärrys loppuu välittömästi kun kuulee sanan "muotoa".

SE on ärsyttävin sana, joka koskaan on matematiikkaan lanseerattu.

Toinen käsite on "neliöksi täydentäminen", se ei yksinkertaisesti mene tavallisen oppilaan tajuntaan.

Tämä tehtävä pitäisikin käsitellä näin:

Ympyrällä on keskipisteyhtälö (x-A)^2 (y-B)^2=R^2, jossa A ja B ovat ympyrän keskipisteen koordinaatit, ja R on sen säde.

Tuo auki kerrottuna on: x^2-2Ax A^2 y^2-2yB B^2=R^2, eli

x^2 y^2-2Ax-2By=R^2-A^2-B^2

Nyt tätä verrataan siihen annettuun yhtälöön x^2 y^2 12x=0, ja todetaan, että:

-2A on oltava 12, ja -2B on oltava 0, jotta vasemmat puolet olisivat samoja.

Siitähän tulee: A=-6, ja B=0. Lisäksi, jotta oikea puolikin olisi sama täytyy

R^2-A^2-B^2 olla 0, eli R^2-36-0=0=>R=6

(R ei voi olla negatiivinen, joten -6 ei käy).

Keskipiste on (-6,0), ja säde 6

11+6 kirjoitti:

Ne omat kullannuppusi käyvät täällä siksi, kun et osaa opettaa heille matematiikkaa.

Tavallisen oppilaan ymmärrys loppuu välittömästi kun kuulee sanan "muotoa".

SE on ärsyttävin sana, joka koskaan on matematiikkaan lanseerattu.

Toinen käsite on "neliöksi täydentäminen", se ei yksinkertaisesti mene tavallisen oppilaan tajuntaan.

Tämä tehtävä pitäisikin käsitellä näin:

Ympyrällä on keskipisteyhtälö (x-A)^2 (y-B)^2=R^2, jossa A ja B ovat ympyrän keskipisteen koordinaatit, ja R on sen säde.

Tuo auki kerrottuna on: x^2-2Ax A^2 y^2-2yB B^2=R^2, eli

x^2 y^2-2Ax-2By=R^2-A^2-B^2

Nyt tätä verrataan siihen annettuun yhtälöön x^2 y^2 12x=0, ja todetaan, että:

-2A on oltava 12, ja -2B on oltava 0, jotta vasemmat puolet olisivat samoja.

Siitähän tulee: A=-6, ja B=0. Lisäksi, jotta oikea puolikin olisi sama täytyy

R^2-A^2-B^2 olla 0, eli R^2-36-0=0=>R=6

(R ei voi olla negatiivinen, joten -6 ei käy).

Keskipiste on (-6,0), ja säde 6

Lue lisää

Terveisiä "11 6":lle:

En käsittääkseni sanonut, että MINUN oppilaani ovat höpöjä papereihinsa kirjoitelleet, vaan yleensä oppilaat. Tähän päiväänhän kuuluu, että netistä apua haetaan ja siksi olisi tärkeää, että jotakin täällä olisi myös totta...

Itse olen aikoinani eri keinoja tuon ympyrä-asian opettamiseen kokeillut ja melkein kolmenkymmenen vuoden kokemuksella voin kertoa, että tuo tapa, jonka kaikkine välivaiheineen tuossa edellä esitin, on se tapa, jonka aika pian aikoinaan huomasin tehokkain olevan. Sillä tyylillä tehden yleensä heikoimmatkin oppilaat onnistuvat ympyrän yhtälön muokkauksessa keskipistemuotoon sekä yleiseen muotoon - eli molempiin suuntiin. Ainoita virheitä ovat yleensä huolimattomuudesta johtuneet laskuvirheet - joista jokainen vastaa päässään itse.

Ja suo nyt anteeksi, hyvä "11 6", että käytin ammattitermistöä, jota sitten tunneilla oppilaille pyritään selvittämään - eli voisi sanoa "suomentamaan". Kirjoitusten itsevarmasta ja ylevästä tyylistä otaksuin, että täällä keskustelivat ihmiset, jotka olettavat jotakin asioista tietävänsä, joten en ymmärtänyt, että pitäisi puhua kuin vasta-alkajille...

Terveisin se sama mat. ope (enempää en alennu asiaa kommentoimaan).