Olen yrittänyt lukea netistä mistä derivoinnista on kyse. Osaan derivoida jotain perusyhtelöitä, mutta siitä ei ole apua, kun en oikein ymmärrä missä yhteydessä derivoin. Eli voisiko, joku avata derivoinnin maailmaa henkilölle, jolla lukiomatikasta aikaa :)
Kiitos!
Pallot
hukassa....
6581
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Derivaatta kuvaa funktion kulun käyttäytymistä. Ts. derivaatta on tietyn pisteen tangentin kulmakerroin, mikäli tämä on positiivinen, niin funktio on paikallisesti kasvava. Vastaavasti voit päätellä vähenevyyden. Derivaatan nollakohta saattaa usein kertoa funktiosta jotain mielenkiintoista, mitähän?!? Derivaattaa tarvitset siis mm. ääriarvotehtävien ratkaisuissa. Pitemmälle päästäessä luontoa voidaan mallintaa matemaattisesti, jolloin derivaatta näyttelee suurta osaa...
Jos funktion tangetti on positiivinen niin voinko silloin määrittää derivaatalla funktion maksimin, eli ääriarvon? Esim jos funktio kuvaa hinnan ja määrän suhdetta, niin jos derivoin tulon hinnan suhteen ja merkkaan derivaatan nollaksi, niin saanko silloin määrän jolla tulot ovat maksimissaan? :)
Nouset kukkulalle: jyrkkyys on derivaatta. Laskeudut kukkulalta: laskujyrkkyys on derivaatta. Eli derivaatta vaihtaa merkkiä :sta -:seen kukkulan huippua ohitettaessa. Laakson pohjalla sama, mutta merkki vaihtuu miinuksesta plussaan. Huipulla tai pohjalla derivaatta on 0. Eli ollakseen ääriarvokohta, derivaatan merkin pitää myös VAIHTUA, kun se ohitetaan. Käyrällä (yhden muuttujan funktio) riittää tarkastella tavallista derivaattaa, monen muuttujan "pinnalla", suunnattuja derivaattoja, viime kädessä ns. gradienttia. Eli tarkastelet määräderivaatan merkin vaihtumista lisäksi. Mahdollisuudet derivaataan 0-kohdassahan ovat: 1) maksimi 2) minimi 3) ei kumpikaan käppyrä vain lepää lepotasollaan ja jatkaa sitten nousuaan tai laskuaan. Derivoituvuudesta seuraa jatkuvuus kyseisessä pisteessä, joten muita mahdollissuuksi ei ole.
Ok, alkaa hieman avautumaan tämä derivaatan maailma. Onko jossain nähtävissä laskuesimerkkejä, joissa lasketaan derivaatalla kasvuvauhtia ja määritellään maksimi/minimi arvoja? Kiitos!
http://www.math.jyu.fi/ylemat/opetusmateriaalia/perusteet/moduli_4/moduli4.7.htm Yritin tuolta nyt päästä jyvällä miten lasken derivaatan, mutta en ymmärrä. Mitä tuo lim(alaindeksi x -->xo) tarkoittaa? Milloin käytän mitäkin derivoimissääntöä esim. vakion, summan, tulon ja osamäärän derivaatta? Meneekö tämä ihan maalaisjärjellä, eli jos f(x)=1000 50x -> summan derivaatta, f(x)=100*14x --> tulon derivaatta? Haluaisin löytää esimerkin, jossa on piirretty funktion kuvaaja ja siitä on laskettu derivaatta jossain pisteessä. Tämä auttaisi.
Se "lim(alaindeksi x -->xo)" tarkoittaa että tuossa tarkastellaan raja-arvoa, kun x lähestyy xo:aa. (limes = raja-arvo) Eli kun sitä kuvan x:ää lähentää kohti xo:aa, niin saadaan lopulta sen tangentin kulmakerroin tasan siinä xo kohdassa. Laskemisen ymmärtäminen ilman esimerkkejä on tietysti vaikeaa. Voin antaa muutaman esimerkin, jos se auttaisi pääsemään jyvälle. f(x)=1000 50x Tähän voit käyttää luonnollisesti summan derivointisääntöä, eli D(1000 50x) = D(1000) D(50x) = 0 50 f(x)=100*14x Tässä periaatteessa voi käyttää sitä tulon derivointisääntöä, mutta se on tarpeetonta, koska tuo muuttuu heti muotoon 1400x, jolloin derivaatta on 1400. Mutta esimerkin vuoksi lasketaan se tulon derivointikaavalla, jotta huomataan että tulos on sama. D(100*14x) = D(100)*14x D(14x)*100 = D(14x)*100 (D(100) = 0) = 14*100 = 1400 Tulon derivointikaavaa käytetään silloin kun tulossa on kaksi x:stä riippuvaa funktiota. (tuossa edellähän oli vain x:stä riippuva funktio kerrottuna vakkiolla) Annetaan taas esimerkki, jonka voi laskea toisinkin. D(x*3x) = D(x)*3x D(3x)*x = 1*3x 3*x = 6x toisin laskettuna huomataan, että x*3x = 3x² D(3x²) = (2*3)x^(2-1) = 6x, kuten pitikin. Ylläolevassa esimerkissä tulon derivointikaavaa ei siis olisi tarvinnut, vaikka sen käyttö on sallittua. Esimerkkinä tilanteesta jossa sitä todella tarvitaan on vaikkapa sin(x)*cos(x) Tuon derivointi onnistuu tulon derivointikaavalla, jos tietää sinin ja kosinin derivaatat. (löytyy yleensä derivointisäännöistä, sen johtaminen vaatii vähän enemmän matematiikkaa)