Siis olis mukava kuulla miten tämä diff-yhtälön rarkaisu menee:
Alkuperäinen yhtälö:
dy/dx = y 2
Lähdin itse ratkaisemaan seuraavasti (S integrointimerkkinä)
S(1/y 2)*(dy/dx)*dx = S(1)dx
S(dy/y 2) = S(1)dx
Nyt pulmanani on tuo vasen puoli yhtälöstä. Siis miten tuollainen jakaja pitäisi käsitellä, missä on y plus jokin vakio? Vastaukseksi tähän on annettu:
x = ln(1 1/2y)
Siis tosi hienoa ois saada kuulla noista välivaiheista.
Pulma diff-yhtälön ratkaisussa
wddim
5412
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Tuossa voi lähteä liikkeelle vaikka siitä että S(dy/(y 2)) muuttuu sijoituksella y 2 = t dy=dt tulee S(dt/t) ja nyt osaatkin jo itse tunnistaa tuosta logaritmin. Sitten sijoitat takaisin t(y). Nyt sitten sopivalla integrointivakiolla vastaus on sama kuin annettu. Integrointivakio pitäisi määräytyä jostain alkuehdosta.
tulee dx/dy=1/(y 2)=>x=ln(y 2) C jos sitten x(0)=0, niin C=-ln2 ja x=ln((y 2)/2)
Ratkaisutapoja on tosiaan monia ja se suoraviivaisin lienee separoida yhtälö. Mutta lineaarisiin differentiaaliyhtälöihin toimii melkein aina integroivan tekijän menetelmä. Kirjoitetaan ensin yhtälö muotoon
dy/dx - y = 2
Huomataan, exp(-x) on integroiva tekijä, eli
d/dx [exp(-x) y] = exp(-x) dy/dx - exp(-x) y
joten kerrotaan yhtälön molemmat puolet exp(-x):llä:
exp(-x) dy/dx - exp(-x) y = exp(-x) 2
jolloin
d/dx [exp(-x) y] = 2 exp(-x)
Integroidaan 0:sta x:ään
exp(-x) y - exp(0) y(0) = -2 [exp(-x) - exp(0)]
josta
y = 2 [exp(x) - 1] exp(x) y(0)
Jos sattumalta y(0)=0, niin toki y = 2 [exp(x) - 1] ja x = ln(y/2 1).
Alkuperäinen yhtälö:
dy/dx = y 2
sitten
dy/dx = y 2 |*dx
dy=(y 2)dx | S
Sdy=S(y 2)dx
y=yx 2x
"Sdy=S(y 2)dx
y=yx 2x