Kaupungilla liikkuu huhu, että differentiaaliyhtälön täydellinen ratkaisu on homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu täydellisen yhtälön erikoisratkaisu.
En saanut siitä täysin kiinni, miksi näin on; voisiko joku fiksumpi kertoa matematiikan kielellä, miksi näin on?
Ehkä voisit vähän käyttää "rautalankamaillia" analysointiin, jotta hieman vajavainen ymmärrykseni myös saisi ideasta kiinni.
Kiitos etukäteen.
En saanut siitä täysin kiinni, miksi näin on; voisiko joku fiksumpi kertoa matematiikan kielellä, miksi näin on?
Ehkä voisit vähän käyttää "rautalankamaillia" analysointiin, jotta hieman vajavainen ymmärrykseni myös saisi ideasta kiinni.
Kiitos etukäteen.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Homogeeninen diff.yhtäkl on muotoa
(1) DY=0
Kun taas epähomogeeninen difff.yhtälö on muotoa (2) DY=F(X)
Olkoon Y1 ensimmäisen ratkaisu ja Y2 jälkimmäisen ratkaisu
Silloin DY1=0 ja DY2=F(X)
D(Y1 Y2)=DY1 DY2=0 F(X)=F(X)
Eli Y1 Y2 on aina myös (2) ratkaisu.
Jos Y3 ja Y4 ovat (2) ratkaisuja, niin
D(Y3-Y4)=0 eli Y5=Y3-Y4 on (1) ratkaisu. Tämä tarkoittaa että jokainen
epähomogeenisen yhtälän ratkaisu saadaan jonkin tunnetun epähomogeenisen ratkaisun ja homogeenisen ratkaisun summana. Ja kun tunnetaan yksi epähomogeenisen ratkaisu ja kaikki homogeenisen ratkaisut, niin näiden summana saadaan kaikki epähomogeenisen yhtälön ratkaisut.