Tällaisen kysymyksen siis löysin lukion oppikirjasta:
Noppaa heitetään, kunnes saadaan ensimmäinen kuutonen. Laske heittojen määrän odotusarvo. Kysessä on tietenkin: sigma(1->ääretön) (5/6)^(k-1)*(1/6)*k , ja vastauksen pitäisi olla 6. Yksinkertaisen oloinen tehtävä, mutta en keksi mitään keinoa, millä tuon summan laskisin. Yleensä google auttaa, mutta tällä kertaa ei löytynyt mitään.
Noppaa heitetään, kunnes saadaan ensimmäinen kuutonen. Laske heittojen määrän odotusarvo. Kysessä on tietenkin: sigma(1->ääretön) (5/6)^(k-1)*(1/6)*k , ja vastauksen pitäisi olla 6. Yksinkertaisen oloinen tehtävä, mutta en keksi mitään keinoa, millä tuon summan laskisin. Yleensä google auttaa, mutta tällä kertaa ei löytynyt mitään.
Vastaukset 9
Vanhimmat
muotoa
S_a=sum_{k=1}^infty k*a^k
olevan summan laskemista.
Tämä onnistuu vaikkapa seuraavasti:
S_a=sum_{k=1}^infty k*a^k
=sum_{k=0}^infty (k 1)*a^(k 1)
=a*sum_{k=0}^infty (k 1)*a^k
=a*(sum_{k=0}^infty k*a^k sum_{k=0}^infty a^k)
=a*(sum_{k=1}^infty k*a^k 1/(1-a))
=a*(S_a 1/(1-a)),
josta ratkaisemalla S_a:n suhteen saadaan
S_a=a/(1-a)^2
Tuossa loppuvaiheessa tarvittiin geometrisen sarjan summan laskukaavaa, joka lienee sinulle tuttu. Ainakin se löytyy netistä helposti ja kuuluu matematiikan perusopintoihin.
Olisiko tästä apua?
Ainakin itse sain näni laskettua tuon odotusarvon 6.
Kiitos ratkaisusta!
En olekaan lukiokursseilla tavannut tuollaista tapaa hajottaa summaa.
Tällaisissa ratkaisuissa pitää myös varmentua siitä että
alkuperäinen sarja suppenee. Yhtälön ratkaisu joka esitettiin toimii ainoastaan
sillä olettamuksella että sarja todella suppenee. Mikäli ei suppene vastaus olisi väärin.
Sarja kyllä suppenee. Sen voi todeta monella eri tavalla. Esim. todeta että on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu joten sillä on raja-arvo olemassa. Tai käyttää sopivaa suppenevuustestiä.
Mutta tehtävän annossa saatettiin ilmoittaa että sarja suppenee?
Tuloksen voi johtaa myös derivoimalla termeittäin:
1/(1-a) = 1 sum_{k=1}^{oo} a^k
derivoidaan a:n suhteen (olettaen että näin saa tehdä):
1/(1-a)^2 = sum_{k=1}^{oo} k a^{k-1}
Kerrotaan molemmat puolet 1/6:lla ja sijoitetaan a=5/6, jolloin saadaan
1/(1-5/6)^2/6
= sum_{k=1}^{oo} k (5/6)^{k-1}/6
= 6
Fyysikkoajattelutavalla tämä riittää, koska ei tuon derivoidun summan arvo hajaantuisi jos derivoinnin sallivat ehdot eivät toteutuisi. Sen sijaan matematiikan tehtävässä pitäisi varmaan tarkistaa vähän abstraktimminkin niitä ehtoja.
Noin minäkin funtsin ja laskin.
Mutta kertokaas, puhtaat matemaatikot, onko tuo todella riittämätöntä!
Tuollaisessa menetelmässä (joka on tässä tapauksessa oikein) pitää matematiikassa tarkastella, että voiko derivoinnin todella suorittaa termeittäin.
Suppenevan potenssisarjan voi derivoida termeittäin suppenemisvälillä (poislukien mahdolliset välin päätepisteet). Geometrinen sarja suppenee välillä -1
Tosiaan fyysikkolaskennalla tarkoitin sitä, että fysiikassa tyypillisesti tärkeämpää on lopputulos kuin se matemaattinen hienostelu. Siis toki jokainen itseäänkunnioittava fyysikko on tietoinen tarpeellisesta analyysistä tekeäkseen teoreettisen analyysin muun muassa näistä sarjojen suppenemisesta. Mutta se on harvoin tarpeen, koska käytännössä homman voi tehdä niin, että jos lopputulos ei ole äärellinen, ei suppene, tai tulokseen tulee jotain delta-funktioita, niin silloin tarpeelliset ehdot eivät päteneet. Jos oikeasti kiinnostaa, niin teoreettisen analyysin voi myös tehdä tämän jälkeen.
Sama pätee kai kaikissa matematiikkaa soveltavissa tieteissä. Tietysti fffs on oikeassa, mutta useimmiten esim. on itsestään selvää, onko joku ratkaisu maksimi vai minimi, ilman perusteellisempaa tsekkausta.
summan sum_{k=1}^infty k*a^k laskemiseen:
Tehdään taulukko
a^1 a^2 a^3 a^4 ...
a^2 a^3 a^4 a^5 ...
a^3 a^4 a^5 a^6 ...
: : : :
Laskemalla taulukon alkiot yhteen vinoriveittäin (alhaalta vasemmalta oikealle ylös) ja nämä puolestaan yhteen todetaan, että taulukon kaikkien alkioiden summa on tuo kysytty lauseke.
Tämän jälkeen lasketaan taulukon alkiot vaakariveittäin yhteen, jolloin k:nnen vaakarivin rivisummaksi tulee geometrisen sarjan summan perusteella a^k/(1-a)
Laskemalla nämä rivisummat yhteen ja käyttämällä jälleen geometrisen sarjan summan laskukaavaa saadaan
a/(1-a) a^2/(1-a) a^3/(1-a) ...
=(a a^2 a^3 ---)/(1-a)
=(a/(1-a))/(1-a)=a^2/(1-a)