Miten määritellään pituus ja pinta-ala? Ilmeisesti Lebesguen mitan avulla. Haluaisin löytää jostain tarkan todistuksen sille, että niiden tasokuvioiden joukossa, joilla on annettu piiri, on olemassa kuvio, jonka ala on maksimaalinen.
Pituus ja pinta-ala
matikkastudentti
13553
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
itseltäsi vaadikaan, koska käsitykseni mukaan väitteen todistamiseen tarvitaan nykyisen tietämyksen mukaan ainakin Zornin lemmaa tai valinta-aksioomaa. Kumpaakaan ei ole todistettu, joten yrität siis löytää niistä riippumattoman todistuksen tai ehkä jopa todistuksen näille väitteille.
Mutta kukapa tietää?
Onnea yrityksellesi.
Haluaisin siis nähdä sellaisen todistuksen, jonka ymmärrän. Zornin lemmaa tai valinta-aksioomaa voidaan käyttää todistuksessa, kun olen opetellut nuo asiat. Olen lukenut yliopistossa topologian 2:n ja reaalianalyysi 1:n, joten nuo asiat voin olettaa tunnetuksi. Uskoisin, että todistus perustuu Ascolin lauseeseen, mutta en ole varma.
koulukunta voisi ehkä tarjota kaipaamasi vastauksen kysymykseesi.
Turun ja Tampereen arvelisin suhtautuvan hiukan kriittisemmin asiaan.
Sen sijaan (kokemukseni mukaan) Oulussa suhtautuminen asiaan on hiukan kaksijakoista. Toiset vannovat Helsingin (filosofisen) koulukunnan nimeen, kun taas toiset ovat Turun ja Tampereen enemmän konstruktivismiin suuntautuvan ajattelun kannalla.
Vaasasta en voi toistaiseksi sanoa mitään. Toki sieltäkin voi asiaa tiedustella. Ja onhan toki Suomessa jäljellä muitakin matemaattisen tutkimuksen kannalta merkittäviä paikkakuntia.
Siellä varmaan vemputtavat Kustaan nimiin?
Mihinkäs unohdit Jyväskylän? Käsittääkseni Jyväskylällä ja Helsingillä on yhteinen huippuyksikkö joka tutkii juuri tämäntapaisia ongelmia...
Pinta-ala määritellään yleensä ottamalla joukon peitteiden supremum ja kaaren pituuden kaava suoristuville käyrille löytyy osoitteesta http://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length . Lauseen todistamiseksi tarvitaan tietysti tasokuvion täsmällinen määritelmä. Esimerkksi tasokuvio voi olla R^2:n osajoukko.
Jos tarkastellaan niiden kuvioiden määrittelemää kokoelmaa, joiden piiri on vakio, niin tällä kokoelmalla on supremum. Sitten osoitetaan, että ympyrällä saavutetaan tämä supremum. Toki muitakin ehdon täyttäviä tasokuvioita on, esimerkiksi jos ympyrään lisätään nollamittainen joukko.
kierretään alkuperäinen ongelma uudella ongelmalla, jonka todistamisesta viis veisataan.
Googlaapa vaikka termillä 'Isoperimetrinen epäyhtälö' (isoperimetric inequality). Isoperimetrisessä ongelmassa etsitään kaikista tason umpinaisista käyristä sellaista, joka sulkee sisäänsä mahdollisimman suuren pinta-alan, kun käyrän pituus on kiinnitetty. Ratkaisu esitetään usein isoperimetrisenä epäyhtälönä, jossa yhtäsuuruus pätee vain ja ainoastaan ympyrälle. Katso lisää vaikka googlella. :)
Ongelma yleistyy muuten myös R^n avaruuksiin, jolloin pinta-alan korvaa n-ulotteinen Lebesguen mitta ja käyrän pituuden taas korvaa kappaleen pinnan n-1 ulotteinen Hausdorffin mitta...
Lause todistetaan yleensä Fourier'n sarjojen avulla. Nopeasti katsottuna osoitteessa http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=176898 vaikuttaisi olevan pätevä todistus.
Tuossa todistuksessa oletetaan käyrä kerran derivoituvaksi parametrin suhteen. Onko siis mahdollista, että ei-derivoituvien käyrien joukossa on joku käyrä, jolla on suurempi pinta-ala kuin ympyrällä mutta sama reunaviivan pituus?
Variaatiolaskentaan perustuvassa perustodistuksessa joudutaan olettamaan käyrä jopa 2 kertaa derivoituvaksi, mutta Pontryaginin periaatteella saadaan tämä oletus poistettua. Mutta edelleenkin kerran derivoituvuus joudutaan olettamaan.
P.S. Juju on toki siinä, että ei-dervoituvan käyrän pituus ei voi olla mikään annettu vakio, mutta milläs todistat.
Isoperimetrinen epäyhtälö yleistyy myös ns. äärellisen perimeetterin omaaville joukoille. Jos ei mene liian syvälliseksi, niin katselepa vaikka näitä lähteitä
Evans, L. C. ja Gariepy, R. F., Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, Boca Raton,
FL, 1992.
Ziemer, W., P., Weakly di erentiable functions: Sobolev spaces and functions of bounded variation,
Springer, 1989.
"P.S. Juju on toki siinä, että ei-dervoituvan käyrän pituus ei voi olla mikään annettu vakio, mutta milläs todistat."
Tuo kyllä menee geometrisella mittateorialla, mutta ei ole ihan triviaali tehtävä. Alkuperäiselle tehtävälle tunnetaan eri todistuksia, kuten variaatiolaskentaan perustuva, Fourier'n sarjoihin perustuva, Levyn–Gromovin todistus ja Steinerin symmetrisaatioon perustuva. Kuulemma kirjan I. Chavel: on Isoperimetric Inequalities avulla pääsee alkuun isoperimetristä epäyhtälöä todistettaessa.
Oma käytännönläheinen lähestystapa olisi sellainen, että kirjoitetaan ongelma alas variaatiolaskennan ongelmana. Sen jälkeen etsitään sopiva variaatiolaskennan kirja, jossa likaiset yksityiskohdat olemassaolosta on todistettu ja viitataan siihen. Sitten lasketaan tulos operaationaalisesti variaatiolaskennalla (eli Euler-Lagrange-yhtälöllä), josta saadaan ympyrä, joka on yo teorian mukaan se maksimaainen.