lauantai-illan viihdykkeeksi.
10-järjestelmän numeroiden 0,1,...,9 esityksille 7-segmentin näytöllä näyttäisivät (äkkipäätään tarkastellen) olevan ominaisia ainakin seuraavat ehdot:
1. Jokaisen numeron esityksessä ainakin kaksi segmenttiä on päällä.
2. Jokaisen numeron esitys on yhtenäinen. Ts. ne eivät koostu toisistaan täysin erillään olevista päällä olevista segmenteistä.
3. Jokaisen numeron esityksessä ainakin yksi keskellä olevan vaakaviivan yläpuolisista ja myös alapuolisista segmenteistä on päällä. (Tästä seuraa tietysti myös ehdon 1 toteutuminen).
Kysymys kuuluu: Montako erilaista merkkiä näin voidaan muodostaa?
(Ja jatkokysymys: Mitä yhteyksiä probleemalla voisi olla Königsbergin siltojen probleemaan)
10-järjestelmän numeroiden 0,1,...,9 esityksille 7-segmentin näytöllä näyttäisivät (äkkipäätään tarkastellen) olevan ominaisia ainakin seuraavat ehdot:
1. Jokaisen numeron esityksessä ainakin kaksi segmenttiä on päällä.
2. Jokaisen numeron esitys on yhtenäinen. Ts. ne eivät koostu toisistaan täysin erillään olevista päällä olevista segmenteistä.
3. Jokaisen numeron esityksessä ainakin yksi keskellä olevan vaakaviivan yläpuolisista ja myös alapuolisista segmenteistä on päällä. (Tästä seuraa tietysti myös ehdon 1 toteutuminen).
Kysymys kuuluu: Montako erilaista merkkiä näin voidaan muodostaa?
(Ja jatkokysymys: Mitä yhteyksiä probleemalla voisi olla Königsbergin siltojen probleemaan)
Vastaukset 4
Vanhimmat
Kovalla ähräyksellä sain merkkien määräksi 44 kpl. Mitään kovin älykästä, nopeaa laskutapaa en kyllä keksinyt. Ajattelin vain, että jokaisessa merkissä ainakin kaksi päällekkäistä laitasegmenttiä on päällä tai sitten ristikkäiset laitasegmentit ovat päällä (esim. oikealla ylhäällä ja vasemmalla alhaalla). Piirsin sitten kaikista tällaisista merkeistä mallit, peilasin sekä täydensin niitä niin paljon kuin oli tarvis ja yritin olla tarkkana, ettei tule päällekkäisyyksiä. Mitään ei myöskään näyttäisi jääneen pois.
Liittäisin tämän Königsbergin siltojen ongelmaan siten, että ajattelisin segmentit verkon kärjiksi. Kärkiä yhdistää sivu, jos vastaavilla segmenteillä on yhteinen päätepiste. Tätä esitystapojen lukumääräongelmaa lähdetään ratkaisemaan siten, että mietitään, monellako tapaa voi oikean laidan ylemmästä kärjestä päästä oikean laidan alempaan kärkeen.
No, vähän keinotekoiseltahan ja vajaalta tämä rinnastukseni tuntuu. Mielessä oli varmaankin jotain ovelampaa?
ihan riittää.
Mietipäs, montako erilaista merkkiä saadaan tarkalleen 2,3,4,5,6 tai 7 segmentin ollessa päällä. Laske ne sitten yhteen.
Ainakin osa näistä lukumääristä on hyvin helppo laskea varsin yksinkertaisella kombinatorisella päättelyllä.
Itse sain tulokseksi 55 kun redusoin ongelman sopivan yhtenäisen graafin etsimiseen, jonka solmut on päälläolevia segmenttejä ja kaaret vierekkäisyysrelaatioita. Lisäksi alapuolelta ja yläpuolelta pitää olla mukana ainakin yksi solmu. Lopullisen laskun hoiti pieni tietokoneohjelma.
Muuta yhteyttä Königsbergin siltoihin en näe kuin että myös yhtenäisten komponenttien etsiminen on graafiteoreettinen ongelma.
sain tulokseksi 55.
Päälläolevien segmenttien lukumäärän mukaan ratkaisuja on
2: 2
3: 8
4: 18
5: 19
6: 7
7: 1
Yhteensä näistä tulee 55.
Tapaus 2 on helppo päätellä.
Tapaukset 3 ja 4 jouduin selvittämään tuolla edellä esitetyllä tavalla.
Tapaus 5 on helppo, sillä kaksi pimeänä olevaa segmenttiä voidaan Binomikerroin(7,2)=21 eri tavalla. Näistä kaksi on sellaista ratkaisua, joista yhtenäisyys puuttuu (rinnakkaiset pystysegmentit pimeinä).
Tapaukset 6 ja 7 ovat triviaaleja.
Huomautettakoon kuitenkin, että käytännössä nuo kahden päällä olevan segmentin ratkaisut muistuttavat liikaa toisiaan, eikä niitä molempia samaan aikaan voitaisi yleensä hyödyntää. Jäljelle jää 54 hyödyntämiskelpoista merkkiä. (Ts. juuri sopivasti vaikkapa kahdella jokerilla varustetun korttipakan jokaisen kortin merkitsemiseen. ; )
Lopuksi todettakoon, että samanlainen ongelma voidaan ratkaista myös Königsbergin siltoja kuvaavassa graafissa ks. http://fi.wikipedia.org/wiki/Königsbergin_siltaongelma .
Jos siltoja ajatellaan segmenteiksi, niin myös tässä on kysymyksessä eräänlainen seitsemän segmentin näyttö. Montako erilaista merkkiä (em. ehdoilla) saadaan muodostettua siltojen valaistuksia sytyttämällä ja sammuttamalla?