Miten alkeisfunktioita voidaan evaluoida? Taylorin sarjoilla saa jotain, mutta kun ne ei suppene kaikkialla. Haluaisin jonku keinon osoittaa ilman elektronisia apuvälineitä, että ln(e^3 1) 1>e ln(e 1).
Numeerisia approksimaatioita
arvioija
13336
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Käyttämällä logaritmin laskusääntöjä ja tätä (e^3 1)/(e 1) = e^2-e 1 tuo saadaan muotoon
ln(e^2-e 1) > e-1
mutta sitten en kyllä keksi enempää. Yksi idea oli keksiä vasemmalle puolelle joku approksimaatio mikä on aidosti pienempi kuin itse lauseke, mutta jolle epäsuuruus pätee. Mutta ero on niin pieni että en äkkiä sellaista keksinyt.
Käyttämällä logaritmilaskennan laskusääntöjä väite voidaan manipuloida muotoon
ln((e-1)^2-(e-1) 1)>e-1
eli (e-1)^2-(e-1) 1>e^(e-1)
Oikea puoli kirjoitetaan sarjaksi 1 (e-1)/1! (e-1)^2/2! (e-1)^3/3! ...
Nähdään että 1 ja (e-1) kumoutuvat eri puolilla ja (e-1)^2 voidaan supistaa.
Alkuperäinen väite muuttuu muotoon
1>1/2! (e-1)/3! (e-1)^2/4! (e-1)^3/5! ...
Katsotaan onko tämä totta. e:stä muistan 4 ensimmäistä numeroa; e=2.718... .
Oikealta puolelta tulee 0.5 1.718/3! 1.718^2/4! 1.718^3/5! ... . Tämän mittaisen sarjan laskee äkkiä kynällä ja paperilla ja summa on 0.9515. Tästä eteenpäin yhteenlaskettavat ovat niin pieniä, etteivät ne sanottavasti vaikuta tulokseen. Elikä ehto on voimassa.
Luultavasti kirjan tekijällä on ollut mielessään vielä tätäkin yksinkertaisempi ratkaisu.
Ihan lupaava idea. Kysymys on eräältä ongelmanratkaisupalstalta ja en tiedä, millainen idea tehtävän laatijalla on mielessä. Kuitenkin hän on jollain tavalla tehtävän jo ratkaissut ja miettii vaihtoehtoisia lähestymistapoja.
"Oikealta puolelta tulee 0.5 1.718/3! 1.718^2/4! 1.718^3/5! ... . Tämän mittaisen sarjan laskee äkkiä kynällä ja paperilla ja summa on 0.9515. Tästä eteenpäin yhteenlaskettavat ovat niin pieniä, etteivät ne sanottavasti vaikuta tulokseen."
Tuo on sen verran käsienheiluttelua, että olisi kiva nähdä tuo kohta tarkemmin. Saisiko sille jonkun geometrisen majorantin vai miten sarjan voi todistaa olevan alle ykkösen?
Oikean puolen sarja suppenee nopeasti, mutta koska ilmoitin sarjan summan neljän numeron tarkkuudella, niin olisi ollut tarpeen jatkaa sitä vielä muutamalla termillä. Niiden antamat lisät ovat (nyt taskulaskimella laskien) 0.0121 0.0030 0.0006 0.0001. Ja aikaisempaan yhteenlaskettuna tämä tekee 0.9673. Tämän jälkeen neljä ensimmäistä desimaalia eivät enää muutu.
rohkeasti tuota hyvää ideaa.
ln((e 1)(e^2-e 1)) 1 > e ln(e 1), tuosta päästään helposti muotoon
ln(1 ((1-e)/e^2) > e-3
Koska vasemman puolen logaritmin sisällä olevan lausekkeen ja ykkösen erotuksen itseisarvo on < 1, voidaan se kehittää Taylorin sarjaksi.
Merkitään: (1-e)/e^2= k , ja sarja on : k-(k^2/2) (k^3/3)-(k^4/4) (k^5/5)….
ja lukuarvoina neljällä desimaalilla: -0,2325-0,0270-0,0041-0,0007-0,0001… tämän jälkeen neljällä desimaalilla nollia..
Summa tuohon asti on noin –0,2641, ja e-3 on noin –0,282.
Logaritmin arvo laskimesta on noin –0,2646, jota tuo sarja ei siis ylitä, ainakaan ihan heti, jos Taylorin sarjakehitelmä teoria paikkansa pitää...
Jos arvioidaan Taylorin polynomilla T2(x;0) funktiota f(x) = e^x kohdassa x = e-1, niin saadaan
e^(e-1) = T2(e-1;0) R3(e-1;0), missä R3(e-1;0) = 1/3!*e^ζ*(e-1)^3, 0 < ζ < e-1.
Alkuperöinen epäyhtälö saadaan edellisen viestin mukaan muotoon
e^(e-1) = 1 e-1 1/2!*(e-1)^2 1/6*e^ζ * (e-1)^3 < 1 e-1 (e-1)^2, josta
1/2 > 1/6* e^ζ * (e-1), 0 < ζ < e-1.
Valitettavasti arvioimalla ylöspäin jäännöstermiä ei päästä haluttuun tulokseen, sillä
1/6* e^ζ * (e-1) < 1/6* e^(e-1) * (e-1) > 1/2
että tulipa manipuloitua kovin huolimattomasti. Mutta ???? on päätynyt oikeaan epäyhtälöön ja osoittaa sen paikkansapitävyyden tavalla, jonka voi aivan hyvin suorittaa kynällä ja paperilla.
Kahdella rivillä merkkivirhe, jonka olit sitten korjannut lopulliseen epäyhtälöön. Pitäisi olla
ln((e-1)^2 (e-1) 1)>e-1
eli (e-1)^2 (e-1) 1>e^(e-1)
Tässä voi myös käyttää sarjaa ln((1 x)/(1-x))=2(x (x^3/3) (x^5/5) (x^7/7) ...)
ja käytetään sitä vaiheessa: ln(e^2-e 1)>e-1
(e^2-e 1)=(1 x)/(1-x), josta x=e(e-1)/(e(e-1) 2), joka on sopivasti 0,7 ja myöskin sillä alueella, että Tayloria voi käyttää.
Vasen puoli on siis sarja 2(0,7 (0,7^3/3) 0,7^5/5 (0,7^7/7) ......)
Oikea puoli on noin 1,7183
vasemman puolet termit ovat: 1,4 0,2286 0,0672 0,0235 ...
kolmannen jälkeen summa on noin 1,6958, ja neljännen jälkeen 1,7185
Sillä kohtaa mentiin ohi oikean puolen, mikä pitikin osoittaa, ja summahan tuosta vielä kasvaa, joten mielestäni ei tarvita virhetarkasteluita.
(Kaikkiaan tuo summa on 1,7346)
Täytyy miettiä tuota. En nyt heti näe keinoa osoittaa, että 2(0,7 (0,7^3/3) 0,7^5/5 (0,7^7/7) ...)
Laskin Sagella noita approksimaatioita, lähinnä millaisia arvioita pitää tehdä. Omien laskujeni mukaan riittää osoittaa seuraavat epäyhtälöt:
2.7181e^3.04
3.72
Siis e suurempi kuin 2.7181, 21.08 suurempi kuin e^3.04, 2.72 suurempi kuin e, e^1.32 suurempi kuin 3.72.
Jos haluaa osoittaa, että e^3.04