Meidän lukion kirjassamme Ssqrt(x)dx on rajattu arvoihin x > 0. Kaverin kirjassa taas 0 kuuluu mukaan. Onko syynä se, että meidän kirjassamme integraalifunktio on määritelty avoimella välillä, kaverilla taas kaikilla väleillä? Kumpi on yleisempi määritelmä ja mitä laitan, jos asia tulee vastaan yo-kokeessa?
Onko tuolla meidän kirjamme määritelmällä sen kanssa tekemistä, että potenssifunktion kantaluku ei saa olla 0, jos eksponentti = 1/2?
Onko tuolla meidän kirjamme määritelmällä sen kanssa tekemistä, että potenssifunktion kantaluku ei saa olla 0, jos eksponentti = 1/2?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Lukiossa puhutaan Riemannin integraaleista, vaikka termiä ei määritelläkään. Riemannin integraali määritellään suljettujen välien avulla, eli 0 kuuluu mukaan. Tosin avoimiin väleihin päästään toispuoleisten raja-arvojen kautta, jolloin puhutaan epäoleellisesta integraalista. Tämä kuului ainakin minun aikana lukion oppimäärään, tosin syventävään kurssiin. Siten uskoisin molempien menetelmien olevan käyttökelpoisia.
"Kumpi on yleisempi määritelmä ja mitä laitan, jos asia tulee vastaan yo-kokeessa?"
Pitäisi tietää, haetaanko tehtävässä Riemannin integraalin määritelmää vai epäoleellisen integraalin määritelmää. Kumpaakin käytetään matematiikassa. Yleensä tehtävät kannattaa tehdä mahdollisimman yksinkertaisesti, eli tässä tapauksessä käyttää suljettuja välejä kun se on mahdollista. Jos pitää integroida epäjatkuvuuspisteiden yli tai -äärettömään, niin silloin käytä epäoleellista integraalia.
"Onko tuolla meidän kirjamme määritelmällä sen kanssa tekemistä, että potenssifunktion kantaluku ei saa olla 0, jos eksponentti = 1/2?"
Kyllä 0^(1/2)=0.
"Kyllä 0^(1/2)=0."
Oppikirjani mukaan f(x) = x^r on määritelty kaikilla x > 0, jos r ei ole kokonaisluku. Onko siinä siis virhe? Myös derivoitaessa kirjan mukaan kantaluvun on oltava > 0.
Lukiosta on sen verran aikaa, että en muista, onko 0^(1/2) määritelty vai ei. Kirjasi voi olla hyvinkin oikeassa. Nykyään kun tuollaisia määritelmiä en tarvitse.
x^r on määritelty kun x>=0 ja r>0 (huom! 0^r=0)
Sen sijaan x^r ei määritelty, jos x=0 ja r=
"x^r on määritelty kun x>=0 ja r>0 (huom! 0^r=0)
Sen sijaan x^r ei määritelty, jos x=0 ja r=
"Meidän lukion kirjassamme Ssqrt(x)dx on rajattu arvoihin x > 0. Kaverin kirjassa taas 0 kuuluu mukaan. "
Funktion f integraalifunktio F tarkoittaa funktiota, jolla pätee ehto F'(x) = f(x). Ts. integraalifunktion F derivaatan pitää olla f(x) jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä x. Kun integroit funktion sqrt(x) saat (2x/3) * sqrt(x) C. Jotta tämä integraalifunktio olisi määritelty kohdassa x = 0, sen pitäisi olla jopa derivoituva tuossa kohdassa.
Nyt pitäisi tietää, miten eri kirjoissa on määritelty funktion derivoituvuus. Monissa lukion kirjoissa ei ainakaan vielä Derivaatta-kurssilla määritellä toispuolisen derivaatan käsitettä. Tällöin ei voida sanoa, että (2x/3) * sqrt(x) C olisi derivoituva kohdassa x = 0, sillä derivaatan määritelmään liittyvä raja-arvo ei ole olemassa tuossa kohdassa. Ilmeisesti sinun kirjassasi tilanne on tämä. Kaverin kirjassa taas saattaa olla toispuolinen derivaatta käsiteltynä. Tällöin funktiolla (2x/3) * sqrt(x) C tiedetään olevan oikeanpuolinen derivaatta kohdassa x = 0, jolloin voidaan hyvin sanoa sen olevan myös derivoituva tuossa kohdassa. Ja funktio, joka on derivoituva, kelpaa jonkun funktion integraalifunktioksi.
"Kumpi on yleisempi määritelmä ja mitä laitan, jos asia tulee vastaan yo-kokeessa? "
Vastaat YO:ssa niin kuin asia esitetään omassa kurssikirjassasi. Opettajasi nimittäin ilmoittaa YTL:lle käytetyt kirjat, joten hän voi myös tarpeen vaatiessa vedota kirjan määritelmiin, jos tulee tällaisia tulkintatilanteita vastaan.
Käytännössä ongelma on kuitenkin ylioppilaskoetta ajatellen ihan triviaali. YTL:n sensorit ovat asiantuntijoita, ja ymmärtävät kyllä, että määritelmissä on eroja.