Osoitettava, että jos sisätulo = 0 kaikilla x,y niin A = 0. (tässä x,y sopivia vektoreita ja A sopevan kokoinen matriisi).
Tuon kun purkaa auki summaksi ja tutkii tapausta, missä x:n ja y:n alkiot ovat > 0, niin seuraa että summa menee nollaksi joss A=0. Riittääkö tämä todistukseksi? Tuntuisi että pitää vielä erikseen todistaa, että kun A=0, niin = 0 olivat x,y mitä tahansa, koska muuten ei tiedetä päteekö implikaatio myös muille x,y..
Miten tämä menee?
Tuon kun purkaa auki summaksi ja tutkii tapausta, missä x:n ja y:n alkiot ovat > 0, niin seuraa että summa menee nollaksi joss A=0. Riittääkö tämä todistukseksi? Tuntuisi että pitää vielä erikseen todistaa, että kun A=0, niin = 0 olivat x,y mitä tahansa, koska muuten ei tiedetä päteekö implikaatio myös muille x,y..
Miten tämä menee?
Vastaukset 16
Vanhimmat
näyttää hiljaisesti syövän osan tavarasta. Kyseessä on x:n ja Ay:n välinen sisätulo.
Jos tarkoitat sisätuloa x^TAy, missä x^T on x transpoosi.
Niin eikös A alkioon Aij pääse käsiksi siten, että y on vektori, jossa i.s alkio 1 ja muut 0 ja x sellainen, jossa j.s alkio 1 ja muut 0. Eli merkitään vaikka y=Ei ja x=Ej
Eli Ej^TAEi=Aij ja koska tämä on voimassa kaikilla x ja y erityisesti siis Ej Ei, niin Aij=0 ja koska
i ja j ovat mielivaltaisia niin A=0.
En jaksa miettiä miten menisi yleisessä sisätulossa.
"Jos tarkoitat sisätuloa x^TAy, missä x^T on x transpoosi."
Meidän kurssilla sisätulo on määritelty kahden (pysty)vektorin välille, mutta se voidaan laskea matriisitulona x^Ty.
"Niin eikös A alkioon Aij pääse käsiksi siten, että y on vektori, jossa i.s alkio 1 ja muut 0 ja x sellainen, jossa j.s alkio 1 ja muut 0. Eli merkitään vaikka y=Ei ja x=Ej"
Juu.
"Eli Ej^TAEi=Aij ja koska tämä on voimassa kaikilla x ja y erityisesti siis Ej Ei, niin Aij=0 ja koska
i ja j ovat mielivaltaisia niin A=0."
Eli tässä todistetaan, että olivat x ja y mitkä tahansa yksikkövektorit, niin väite seuraa. Mutta on kai vielä todistettava, että väite seuraa myös mielivaltaisille x,y eikä mielivaltaisille _yksikkövektoreille_? Toisin sanoen nyt on todistettu, että tässä tapauksessa seuraa että A=0, mutta eikö ole vielä todistettava väite mielivaltaiselle vektorille (jossa voidaan tätä edellä tehtyä tietysti hyödyntää). Muutenhan ei ole käsittääkseni sanottua, että jos esim. x,y < 0, niin sisätuloa voisi välttämättä pakottaa nollaksi ollenkaan?
Oletus. x^TAy=0 kaikilla x,y
Väitös A=0
Todistus.
Koska x^TAy=0 kaikilla x,y, niin se on sitä myös kun x=Ei ja y=Ej.
Tuolloin x^TAy=Aij=0. Eli matriisin alkio on 0 ja koska i ja j ovat mielivaltaiset, niin
A=0.
Eli tuossa todetaan vain se että ei tarvitsisi olla voimassa edes kaikilla x ja y pareilla vaan lievempikin
ehto eli kaikilla Ei Ej pareilla on riittävä ehto sille että A=0.
Tämä ei mene jakeluun. Jos halutaan todistaa kaikille y, niin riittääkin todistaa vain "sopiville" y? Enkö tällöin voisi valita vaikka y=0, kerta se voidaan noin sopivasti valita? Vai onko idea siinä, että valitaan sellainen y, jolla vasen puoli on nolla vain jos A=0 ja muista ei tarvi välittää?
Eikö tällöin voisi olla mahdollista, että jos vasen puoli on nolla kaikilla y < 0, niin olisikin A = 1 ja implikaatio ei olisikaan totta?
Olen varmasti tässä se tyhmempi osapuoli, mutta tämä ei vaan mene ymmärrykseen :(
Jos joku väite pätee kaikille y, niin se pätee myös vapaasti valitulle y. Siispä jos jollain vapaasti valitulla joukolla {x,y} pätee x^TAy => A = 0, niin myös jos vielä suuremmalla joukolla {x,y} (=kaikilla) pätee x^TAy = 0, niin edelleenkin siitä seuraa A = 0.
Jos merkitään lausetta p ≡ ∃(x,y): x^TAy = 0 ⇒ A = 0 ja
q ≡ ∀(x,y): x^TAy = 0 ⇒ A = 0 , niin toisin sanoen väität p ⇒ q, vaikka järki sanoo q ⇒ p.
Opetellaan lukemaan. Tuo päättely on nimenomaan q ⇒ p. Tai itse asiassa p:n pitäisi sisältää n kappaletta lineaarisesti riippumattomia vektoreita x,y.
Eli toisin sanoen todistamme, että jos on olemassa sellainen A että kaikilla x ja y = 0, niin se A on nolla, mutta todistuksessa ei oteta millään muotoa kantaa siihen onko tällainen A tässä tapauksessa olemassa. Se pitää todistaa (tai todeta) erikseen.
No onhyan se olemassa selvästi
Nimittäin Jos A=0, niin x^T0y=0
Tuossa on todistettu että mikään muu matriisi kuin 0 ei toteuta ehtoa ja 0 totetuttaa.
"Jos joku väite pätee kaikille y, niin se pätee myös vapaasti valitulle y. Siispä jos jollain vapaasti valitulla joukolla {x,y} pätee x^TAy => A = 0, niin myös jos vielä suuremmalla joukolla {x,y} (=kaikilla) pätee x^TAy = 0, niin edelleenkin siitä seuraa A = 0."
Siirrytään oletuksen tilanteesta yksikkövektoreihin ja nähdään laskulla että tällöin A = 0. Siirrytään takaisin oletuksen tilanteen laajempaan joukkoon. Kuinka nyt seuraa, että A = 0, kun tiedämme tämän todeksi ainoastaan yksikkövektoreilla ?
"No onhyan se olemassa selvästi"
Voi kristus. Olenko väittänyt vastaan? Sanoin, että sitä EI OLE TUOSSA TODISTETTU. Siinä on todistettu, että JOS OLETETAAN sellaisen A:n olevan, NIIN SITTEN se on nollamatriisi.
TOTTA HELVETISSÄ SE ON OLEMASSA, mutta sitä EI TUOSSA TODISTETTU. Johan sen nyt näkee sokea reettakin.
"Tuossa on todistettu että mikään muu matriisi kuin 0 ei toteuta ehtoa ja 0 totetuttaa. "
Ei, siinä nimenomaan EI OLE TODISTETTU että 0 toteuttaa ehdon vaan että jos joku toteuttaa sen, niin se on nollamatriisi. Siis vain puolet väittestäsi. Tämä siitä yksinkertaisesta syystä, että on tarkasteltu vain tiettyjä x ja y ja koska tällöin saatiin ulos yksi MAHDOLLINEN arvo, niin JOS joku A toteuttaa ehdon kaikilla x ja y, NIIN se on oltava tuo saatu. Jäljelle jää todistaa, että nollamatriisi toimii myös muille arvoille ja siten toimii kaikkialla - ja tämänhän nerokkaasti viestissäsi teitkin.
Ja jos tuo oli provottamista, niin onneksi olkoon - onnistuit.
"Siirrytään oletuksen tilanteesta yksikkövektoreihin ja nähdään laskulla että tällöin A = 0. Siirrytään takaisin oletuksen tilanteen laajempaan joukkoon. Kuinka nyt seuraa, että A = 0, kun tiedämme tämän todeksi ainoastaan yksikkövektoreilla ?"
Niin siis jos jo todistit, että A = 0, niin edelleen A = 0, vaikka kuinka monta muuta vektoria tutkisitkin.
Ajattele, että A:n alkiot ovat autojen värejä. Jos tutkit jokaisen alkion erikseen ja toteat, että jokainen niistä on punainen, niin vaikka kuinka ottaisit niistä muita lineaarikombinaatioita, niin kyllä ne autot edelleen pysyvät punaisina, koska jokainen niistä on punainen niin kuin jo todistettiin.
No otetaan vektorit x ja y ja esitetään ne muodossa x = XEi ja y = YEj. Tällöin
x^TAy = (XEi)^TA(YEj) = Ei^TX^TAYEj. Voidaanko tämä saada nollaksi lisätiedolla Ei^TAEj = 0 ?
En ole varma mitä oikein haet, mutta jos meillä on n kappaletta lineaarisesti riippumattomia vektoreita Ej, jossa j = 1,...,n ja millä tahansa parilla Ei,Ej n*n matriisille A pätee
Ej^T A Ei = 0,
niin tällöin A = 0. Tällöin myös siis x^T A y = 0 millä tahansa x,y (koska A on nolla!).
Luin viestin uudestaan, niin en itsekään enää tiennyt mitä hain. Lähinnä sitä yritin hakea, että esitetään mielivaltaiset vektorit yksikkövektoreiden avulla ja sitä kautta saada palautettua tilanne samaksi kuin yksikkövektoreiden kanssa (eli saada johonkin väliin Ei^TAEj = 0) ja siitä saada seuraamaan A = 0.