Laskin muutamia alkulukurykelmien määrään liittyviä ennusteita, ja tarkasti pitivät paikkansa.
Alkulukujen tiheydelle (=todennäköisyys, että n on alkuluku) näyttää olevan hyvinkin tarkasti voimassa lauseke 1/ln(n). (Ehkä lauseke on todistettukin, itse en osaa.) Eli jos halutaan tietää alkulukujen määrä välillä 2-->N, niin suoritetaan integrointi S(dn/ln(n)) tällä välillä. (S tarkoittaa integraalimerkkiä.) Mentäessä 10^9 saakka integraali antaa alkulukujen määräksi 50849231. Tarkka määrä on 50847534, ja niiden välinen suhdeluku on 1.000033.
Kun ajatellaan mielivaltaista lukua, se on 2:lla jaoton todennäköisyydellä 1/2, 3:lla jaoton todennäköisyydellä 2/3, viidellä todennäköisyydellä 4/5, jne jokaisen mahdollisen alkuluvun kohdalla. Kerrotaan nämä ja saadaan tulo (1/2)*(2/3)*(4/5)*(6/7)*(10/11)*... . Ajatellaan nyt että ollaan alkuluvun, a, kohdalla, ja halutaan tietää mikä on paikan a 2 jaottomuustodennäköisyys. Koska a on alkuluku, on a 2 varmuudella 2:lla jaoton. Koska a ei ole 3:lla jaollinen, on paikan a 1 tai a 2 oltava 3:lla jaollinen, joten 3:lla jaottomuuden todennäköisyys on 1/2. 5:llä jaottomuuden todennäköisyys on 3/4, jne. saadaan tulo 1*(1/2)*(3/4)*(5/6)*... . Nämä tulot ovat hajaantuvia, mutta kun jaetaan jälkimmäinen edellisellä saaadaan 2*((1*3)/(2*2))*((3*5)/(4*4))*... , joka on suppeneva tulo ja sen arvo on 1.320323... . Alkuluvun a jälkeinen paikka a 2 on siis jaoton todennäköisyydellä 1.320323/ln(n), ja alkulukuparin todennäköisyys on siten 1.320323/(ln(n))^2. Alkulukuparien määrä N:ään mennessä saadaan kun integroidaan
1.320323*S(dn/(ln(n))^2) välillä 3-->N. Integroinnin voi tehdä muunnoksella ln(n)=s,dn/n=ds ja integrointiväli muuttuu väliksi ln(3)-->ln(N). Tuloksena on sarjaa koskeva integraali, ja se integroidaan termeittäin. Saadun sijoituslausekkeen laskemiseksi on helppo tehdä tietokoneohjelma ja se antaa (alle silmänräpäyksessä) tulokseksi 3425299 alkulukuparia, kun mennäänN=10^9 saakka. Todellinen määrä on 3424506 paria. Suhde (=tarkka määrä/arvio) on 1.00023.
Netistä löysin tiedon, että lukuun 10^14 mennessä on 135780321665 alkulukuparia. Kun suorittaa integroinnin sinne saakka, saa ennusteeksi 135780264878 paria. Tarkkuus on 1.00000042.
Seuraavassa merkitsen alkulukurykelmiä kirjaimista a (=alkuluku) ja j (=jaollinen luku) muodostetuilla kirjainjonoilla. Silloin ajajjja on kolme alkulukua sisältävä tapaus. Se sattuu esim. paikassa 11,13,...,17. ajajjjaja on lyhin neljä alkulukua sisältävä jono. Se sattuu ensimmäisen kerran paikassa 11,13,...,17,19.
Lyhin kolme alkulukua sisältävä tapaus on ajajjja (tai sen symmetrinen muoto ajjjaja, joka on yhtä todennäköinen), tällainen on esim. paikka ...41,43,...,47... . Nyt oletetaan tapaus aja (eli että on sattunut alkulukupari), ja määrätään mikä on todennäköisyys, että paikka a 6 (ensimmäisestä a lukien) on alkuluku. Samantapaisella päättelyllä tullaan tulokseen, että tapauksia pitäisi löytyä 2.8582495*S(dn/(ln(n)^3). Kun tämä integrointi tehdään samaan tapaan kuin edellä, saadaan ennuste, että väliltä 3-->10^9 pitäisi löytyä 379798 ajajjja-tapausta. Oikea määrä on 379508 tapausta. Tarkkuus on 1.00077.
Katsoin vielä tapauksen ...ajajjjaja... , joka on lyhin neljä alkulukua sisältävä tapahtuma. Tämä sattuu esim. paikassa ...101,103,...,107,109,... . Tässä tapauksessa oletetaan, että on sattunut tapaus ajajjja, ja etsitään todennäköisyyttä, että tämän jatkoksi saadaan vielä (ajajjja)ja. Menettelemällä edelliseen tapaan tullaan tapausten määrää koskevaan integraaliin 4.1511909*S(dn/(ln(n)^4). Kun tämä integroidaan (ja loppulaskua varten tehdään pieni tietokoneohjelma), saadaan ennusteeksi 28386 tapausta välillä 3-->10^9. Todellinen määrä on 28388 tapausta, ja suhteellinen tarkkuus on 1.000063.
Edellä oleva merkitsee tietenkin sitä, että alkulukupareja on ääretön määrä, samoin kuin minkä hyvänsä tapauksen sattumiskertojen määrä on ääretön.
Alkulukujen tiheydelle (=todennäköisyys, että n on alkuluku) näyttää olevan hyvinkin tarkasti voimassa lauseke 1/ln(n). (Ehkä lauseke on todistettukin, itse en osaa.) Eli jos halutaan tietää alkulukujen määrä välillä 2-->N, niin suoritetaan integrointi S(dn/ln(n)) tällä välillä. (S tarkoittaa integraalimerkkiä.) Mentäessä 10^9 saakka integraali antaa alkulukujen määräksi 50849231. Tarkka määrä on 50847534, ja niiden välinen suhdeluku on 1.000033.
Kun ajatellaan mielivaltaista lukua, se on 2:lla jaoton todennäköisyydellä 1/2, 3:lla jaoton todennäköisyydellä 2/3, viidellä todennäköisyydellä 4/5, jne jokaisen mahdollisen alkuluvun kohdalla. Kerrotaan nämä ja saadaan tulo (1/2)*(2/3)*(4/5)*(6/7)*(10/11)*... . Ajatellaan nyt että ollaan alkuluvun, a, kohdalla, ja halutaan tietää mikä on paikan a 2 jaottomuustodennäköisyys. Koska a on alkuluku, on a 2 varmuudella 2:lla jaoton. Koska a ei ole 3:lla jaollinen, on paikan a 1 tai a 2 oltava 3:lla jaollinen, joten 3:lla jaottomuuden todennäköisyys on 1/2. 5:llä jaottomuuden todennäköisyys on 3/4, jne. saadaan tulo 1*(1/2)*(3/4)*(5/6)*... . Nämä tulot ovat hajaantuvia, mutta kun jaetaan jälkimmäinen edellisellä saaadaan 2*((1*3)/(2*2))*((3*5)/(4*4))*... , joka on suppeneva tulo ja sen arvo on 1.320323... . Alkuluvun a jälkeinen paikka a 2 on siis jaoton todennäköisyydellä 1.320323/ln(n), ja alkulukuparin todennäköisyys on siten 1.320323/(ln(n))^2. Alkulukuparien määrä N:ään mennessä saadaan kun integroidaan
1.320323*S(dn/(ln(n))^2) välillä 3-->N. Integroinnin voi tehdä muunnoksella ln(n)=s,dn/n=ds ja integrointiväli muuttuu väliksi ln(3)-->ln(N). Tuloksena on sarjaa koskeva integraali, ja se integroidaan termeittäin. Saadun sijoituslausekkeen laskemiseksi on helppo tehdä tietokoneohjelma ja se antaa (alle silmänräpäyksessä) tulokseksi 3425299 alkulukuparia, kun mennäänN=10^9 saakka. Todellinen määrä on 3424506 paria. Suhde (=tarkka määrä/arvio) on 1.00023.
Netistä löysin tiedon, että lukuun 10^14 mennessä on 135780321665 alkulukuparia. Kun suorittaa integroinnin sinne saakka, saa ennusteeksi 135780264878 paria. Tarkkuus on 1.00000042.
Seuraavassa merkitsen alkulukurykelmiä kirjaimista a (=alkuluku) ja j (=jaollinen luku) muodostetuilla kirjainjonoilla. Silloin ajajjja on kolme alkulukua sisältävä tapaus. Se sattuu esim. paikassa 11,13,...,17. ajajjjaja on lyhin neljä alkulukua sisältävä jono. Se sattuu ensimmäisen kerran paikassa 11,13,...,17,19.
Lyhin kolme alkulukua sisältävä tapaus on ajajjja (tai sen symmetrinen muoto ajjjaja, joka on yhtä todennäköinen), tällainen on esim. paikka ...41,43,...,47... . Nyt oletetaan tapaus aja (eli että on sattunut alkulukupari), ja määrätään mikä on todennäköisyys, että paikka a 6 (ensimmäisestä a lukien) on alkuluku. Samantapaisella päättelyllä tullaan tulokseen, että tapauksia pitäisi löytyä 2.8582495*S(dn/(ln(n)^3). Kun tämä integrointi tehdään samaan tapaan kuin edellä, saadaan ennuste, että väliltä 3-->10^9 pitäisi löytyä 379798 ajajjja-tapausta. Oikea määrä on 379508 tapausta. Tarkkuus on 1.00077.
Katsoin vielä tapauksen ...ajajjjaja... , joka on lyhin neljä alkulukua sisältävä tapahtuma. Tämä sattuu esim. paikassa ...101,103,...,107,109,... . Tässä tapauksessa oletetaan, että on sattunut tapaus ajajjja, ja etsitään todennäköisyyttä, että tämän jatkoksi saadaan vielä (ajajjja)ja. Menettelemällä edelliseen tapaan tullaan tapausten määrää koskevaan integraaliin 4.1511909*S(dn/(ln(n)^4). Kun tämä integroidaan (ja loppulaskua varten tehdään pieni tietokoneohjelma), saadaan ennusteeksi 28386 tapausta välillä 3-->10^9. Todellinen määrä on 28388 tapausta, ja suhteellinen tarkkuus on 1.000063.
Edellä oleva merkitsee tietenkin sitä, että alkulukupareja on ääretön määrä, samoin kuin minkä hyvänsä tapauksen sattumiskertojen määrä on ääretön.
Vastaukset
Vanhimmat
Ei vielä vastauksia
Aloittaja odottaa vastauksia. Kerro oma näkemyksesi ensimmäisenä.