Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä x^(12/6)=4
(12/6 on tässä murtoluku) ja mikä/mitkä on/ovat sen ratkaisu(t)?
Periaatteessa, jos laskee
x^2=4 II ±sqrt()
x=±2
mutta murtopotenssihan on määritelty vain,
kun kantaluku on positiivinen.
Eli mikä/mitkä on/ovat sen ratkaisu(t)?
(12/6 on tässä murtoluku) ja mikä/mitkä on/ovat sen ratkaisu(t)?
Periaatteessa, jos laskee
x^2=4 II ±sqrt()
x=±2
mutta murtopotenssihan on määritelty vain,
kun kantaluku on positiivinen.
Eli mikä/mitkä on/ovat sen ratkaisu(t)?
Vastaukset 13
Vanhimmat
Itehän en ole matemaatikko joten en tiedä miten tommonen pitäis lukea... Mutta jos nyt lähetään tihrustamaan kaavaa x^(12/6) niin kyllähän siinä mun mielestä lukee x^2 jollonka juuria olis 2. Tietysti tehtävänannossa on tarkoitettu kysyä, kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä (x^12)^(1/6) jollonka osa vastauksista on tietysti imaginäärisia ja valtaosa on jotain yleisiä kompleksilukuja joiden pituus on 2. Määrän saat varmaan miettiä ihan ite :)
"mutta murtopotenssihan on määritelty vain,
kun kantaluku on positiivinen."
Näin usein tehdään. Siispä ratkaisuja on vain yksi: x = 2.
Siis eiks tuota potenssia 12/6 voi muka sieventää ekaksi? Silloin tulis x^2 = 4, ja x = 2 ja -2. Ja olihan tuossa x positiivinen jo alussa, mutta vaikka olis negatiivinenkin.
Miksi tehdä yksinkertaisesta asiasta mutkikasta!
Asia vain näyttää yksinkertaiselta. Jos tätä nyt joku vielä miettii, niin kannattaa kokeilla vaikka seuraavaa: laske (-1)^(2/6) ensin ilman mitään eksponentin sieventämisiä ja sitten supistamalla eksponentti ensin. Mikä menee pieleen?
z = (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = [cos(π k2π) isin(π k2π)]^(1/3)
= cos[(π k2π)/3] isin[(π k2π)/3], jolloin
z1 = (1/2)*(1 √3i), z2 = -1 ja z3 = (1/2)*(1-√3i)
Laske toki sama myös supistamatta eksponenttia ensin.
Toisaalta, minusta alkuperäinen kysymys viittaa aika selvästi reaaliseen tapaukseen, ei kompleksiseen.
Tiedän ettei lukujen (a^p)^(1/q) ja a^(p/q) tarvitse olla samat. Esimerkiksi p/q = 4/2, jolloin
(a^4)^(1/2) = /– a^2 ≠ a^2 = a^(4/2). Ongelmaa ei ole jos p/q ei ole supistuva.
Laskin vain mitä pyydettiin.
"Tiedän ettei lukujen (a^p)^(1/q) ja a^(p/q) tarvitse olla samat."
Totta. Ja tämähän on tietty aivan eri ongelma kuin alkuperäisellä kysyjällä oli. (Tai ei edes ongelma.) Minun olisi kannattanut jättää edellisessä viestissä jatkamatta ja todeta vain, että pitäydytäänpä reaaliluvuissa. Pahoitteluni!
Se, että alkuperäinen kysyjä mainitsee murtopotenssin olevan määritelty vain positiivisille kantaluvun arvoille, kertoo kyllä, että nyt kiinnostaa nimenomaan reaalinen tapaus. Tämähän on nimenomaan reaalisen murtopotenssin ongelma tai ominaisuus. Siis (-1)^(6/2) ei voi olla (reaalilukujen viitekehyksessä) olemassa, sillä sen pitäisi olla yhtä aikaa sekä 1 että -1 (tai kolmantena vaihtoehtona ei reaalilukuna edes olemassa) riippuen eksponentin käsittelystä. Tavan mukaanhan reaalilukujen teoriassa juurten arvot ovat yksikäsitteisiä.
Alkuperäinen kysymys viittaa minusta selkeästi lukion pitkän matematiikan ensimmäiseen kurssiin. Murtopotenssin määrittelyalue on yksi usein kysymyksiä herättävä asia siellä. Vaikka opettaja ei asiaa erityisesti painottaisi tai edes mainitsisi, useimmissa oppikirjoissa (ja sitä kautta ainakin joidenkin kirjojen tehtävissä) oppilas törmää siihen.
"Laskin vain mitä pyydettiin."
Jätit laskematta potenssin eksponenttia sieventämättä, vaikka alun perin pyysin sitäkin.
Olisi ollut vaikeaa laskea, sillä on määritelty että p/q on supistumaton muoto. Kompleksilukujen juuria koskevien lauseiden tulokset tuskin ovat voimassa, jos tämä ohitetaan.
täysin yksiselitteisesti määrätty.
Lauseke x^(12/6) lasketaan siten, että ensiksi lasketaan tuo sulkujen sisällä oleva lauseke, siis 12/6=2.
Yhtälö on siis täysin yhtäpitävä yhtälön x^2=4 kanssa.
Yhtälö (x^12)^(1/6) = 4 voisi olla tulkinnanvaraisempi.
siinä vaan esitysteknisistä syistä, ettei joku luulisi sen olevan 1/6*x^12
"Lauseke x^(12/6) lasketaan siten, että ensiksi lasketaan tuo sulkujen sisällä oleva lauseke, siis 12/6=2.
Yhtälö on siis täysin yhtäpitävä yhtälön x^2=4 kanssa."
No ei. Kun alkuperäinen kysyjä sanoi selvästi, että murtopotenssit ovat määriteltyjä vain positiivisille kantaluvuille, on kyllä syytä kunnioittaa tätä hänen tuntemaansa määritelmää. Tällöin ei merkintä x^(12/6) ole olemassa kuin x:n positiivisille arvoille, ja vastaavasti yhtälöllä on vain positiivinen juuri.
"Yhtälö (x^12)^(1/6) = 4 voisi olla tulkinnanvaraisempi."
En ymmärrä, miksi.