Tuli tossa lueskelua funktiosta, joka on kaikkialla jatkuva, muttei missään derivoituva. Weierstrassin esimerkki on vaan pitkä ja ikävä.
Mutta eikö tämä olisi todella yksinkertainen esimerkki:
f(x) = x kun x rationaalinen ja -x kun x irrationaalinen
Funktio |f(x)| on kaikkialla jatkuva, muttei missää derivoituva.
Ei nyt oo mikään huippuidea, mutta enpä oo missään tota tavannu.
Mutta eikö tämä olisi todella yksinkertainen esimerkki:
f(x) = x kun x rationaalinen ja -x kun x irrationaalinen
Funktio |f(x)| on kaikkialla jatkuva, muttei missää derivoituva.
Ei nyt oo mikään huippuidea, mutta enpä oo missään tota tavannu.
Vastaukset 7
Vanhimmat
"f(x) = x kun x rationaalinen ja -x kun x irrationaalinen
Funktio |f(x)| on kaikkialla jatkuva, muttei missää derivoituva."
Mutta nythän |f(x)| = |x|, eli kyseessä on melkein kaikkialla derivoituva funktio.
"Mutta nythän |f(x)| = |x|, eli kyseessä on melkein kaikkialla derivoituva funktio."
Näytä vaikka että jos f(x) = x kun x rationaalinen ja -x kun x irrationaalinen, niin |f(x)| on derivoituva kohdassa x=1. On meinaan aika villisti käyttäytyvä ympäristö...
Musta ton itseisaron avaaminen ei mee ihan noin yksinkertaisesti. No, voin olla väärässäkin ;)
"Näytä vaikka että jos f(x) = x kun x rationaalinen ja -x kun x irrationaalinen, niin |f(x)| on derivoituva kohdassa x=1. On meinaan aika villisti käyttäytyvä ympäristö..."
Hmm. Ei tuossa minusta mitään erikoista ole. Erotusosamäärä on
( | f(1 h) | - | f(1) | ) / h = ( | f(1 h) | - 1 ) / h.
Nyt f(1 h) heilahtelee arvojen 1 h ja - (1 h) välillä, joista jälkimmäinen on negatiivinen, kun h on kumminkin pieni. Tällöin | f(1 h) | = 1 h riippumatta h:n rationaalisuudesta, joten erotusosamäärä sievenee muotoon
(1 h - 1) / h = 1.
Siis myös erotusosamäärän raja-arvo on 1, eli funktion derivaatta kohdassa x = 1 (ja missä hyvänsä muussa kohdassa poislukien kohta x = 0) on 1.
Jos olis f(x)^2 niin toi olis derivoituva vain ja ainoastaan kohdasas x=0. Mikäli nyt ite ymmärrän ton aloittajan itseisarvon oikein, niin derivaatta "funktio" on tiheästi -1 ja 1, joka ei tietenkään oo missään jatkuva.
Aika simppeli esimerkki reaalianalyysiin, jos noin menis.
"Siis myös erotusosamäärän raja-arvo on 1, eli funktion derivaatta kohdassa x = 1 (ja missä hyvänsä muussa kohdassa poislukien kohta x = 0) on 1."
No, liioittelin tässä kyllä. Siis derivaatta on missä hyvänsä positiivisessa kohdassa 1, ei sentään negatiivisissa kohdissa.
Esim Cauchyn jakauma:
f(x) = 1/πλQ, jossa Q = 1 [(x - θ)/λ]^2, ja
-oo < x < oo, -oo < θ < oo, λ > 0.
Pelastakaamme maailman kynäteollisuus derivointiyrityksillä!
Matikassa pitää olla huolellinen. Minusta on kyllä toisinaan kiva selvittää hankaliakin esimerkkejä ja täydentää päättelyn yksityiskohtia. Jos riittää todistaa, että on olemassa funktio, joka on jatkuva muttei derivoituva, niin kannattaa miettiä, miten tuon voisi osoittaa Bairen lauseen avulla.