L´Hopitalin sääntö

Mitä tarkoittaa toisen derivaatan ratkaiseminen?

Tämä on asiaa asian vierestä.

Sivulla http://keskustelu.suomi24.fi/debate/54 tuo nimi on muodossa ”L'hopitalin sääntö” mutta sivulla http://keskustelu.suomi24.fi/debate/3641 jo muodossa ”L'Hopitalin sääntö”.

Jos halutaan olla tarkkoja, niin lauseen sisällä pikku-l ja iso H ja vielä roska ^ tuonne o:n päälle: ”l'Hôpitalin sääntö”. Puhutaan myös Bernoullin säännöstä, koska sen keksivät mahdollisesti Bernoullin veljekset jo ennen Guillaume de l'Hôpitalia

http://fi.wikipedia.org/wiki/L'Hôpitalin_sääntö
http://en.wikipedia.org/wiki/L'Hôpital's_rule
http://mathstat.helsinki.fi/opiskelu/ot/Materiaalit/kandi.pdf

Vastaus kysymykseen, että voiko L'Hopitalin säännöllä
yleisesti ottean laskea toisia derivaattoja ilman ensimmäisten
derivaattojen laskemisia on kyllä valitettavasti ei.

Se sääntö mene suurin piirtein niin, että jos

lim f(x), x --> a = 0
lim g(x), x --> a = 0

niin

lim g(x)/f(x) = lim g'(x)/f'(x)

kun x --> a. Se voidaan johtaa vaikka Taylorin sarjalla:

f(a dx) = f(a) f'(a) dx o(dx) = f'(a) dx o(dx)
g(a dx) = g(a) g'(a) dx o(dx) = g'(a) dx o(dx)

jolloin

f(a dx)/g(a dx)
= (f'(a) dx o(dx)) / (g'(a) dx o(dx))
= f'(a) / g'(a) kun dx --> 0

Jos f(a) = g(a) = 0 ja f'(a) = g'(a) = 0, niin vastaavasti

lim f(x) / g(x) = f''(a) / g''(a)

mutta jos f(a) = 0 ja g(a) = 0, mutta f'(x) != 0 ja g'(x) != 0,
niin silloin voidaan sääntöä soveltaa, jos tehdään muunnokset

f'(x)