Miten L'Hopitalin sääntö käyttämällä voimme ratkaista funktion h(x) toisen derivaatan ottamatta 1. erivaattaa ensin?
Eikö L´Hopitalin sääntö tarkoita että mikäli f(x)/g(x) ei ole määritelty pisteessä x=a niin lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a f´(x) / g´(x) edellyttäen että derivaat ovat jatkuvia ja että jälkimmäinen lauseke on määritelty?
Kuinka tätä kautta saa laskettua toisen derivaatan suoraan jollekin funktiolle, mitkä ovat "f(x) ja g(x)" ?
Eikö L´Hopitalin sääntö tarkoita että mikäli f(x)/g(x) ei ole määritelty pisteessä x=a niin lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a f´(x) / g´(x) edellyttäen että derivaat ovat jatkuvia ja että jälkimmäinen lauseke on määritelty?
Kuinka tätä kautta saa laskettua toisen derivaatan suoraan jollekin funktiolle, mitkä ovat "f(x) ja g(x)" ?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Mitä tarkoittaa toisen derivaatan ratkaiseminen?
Jos derivaattafunktio on itsessään derivoituva. esim. (huom merkki ^ tarkoittaa potenssia esimerkeissä)
Jos f(x)=4x^3 niin f`(x)=12x^2, jonka toinen derivaatta merkitään f``(x)=24x.
Tämä on asiaa asian vierestä.
Sivulla http://keskustelu.suomi24.fi/debate/54 tuo nimi on muodossa ”L'hopitalin sääntö” mutta sivulla http://keskustelu.suomi24.fi/debate/3641 jo muodossa ”L'Hopitalin sääntö”.
Jos halutaan olla tarkkoja, niin lauseen sisällä pikku-l ja iso H ja vielä roska ^ tuonne o:n päälle: ”l'Hôpitalin sääntö”. Puhutaan myös Bernoullin säännöstä, koska sen keksivät mahdollisesti Bernoullin veljekset jo ennen Guillaume de l'Hôpitalia
http://fi.wikipedia.org/wiki/L'Hôpitalin_sääntö
http://en.wikipedia.org/wiki/L'Hôpital's_rule
http://mathstat.helsinki.fi/opiskelu/ot/Materiaalit/kandi.pdf
Vastaus kysymykseen, että voiko L'Hopitalin säännöllä
yleisesti ottean laskea toisia derivaattoja ilman ensimmäisten
derivaattojen laskemisia on kyllä valitettavasti ei.
Se sääntö mene suurin piirtein niin, että jos
lim f(x), x --> a = 0
lim g(x), x --> a = 0
niin
lim g(x)/f(x) = lim g'(x)/f'(x)
kun x --> a. Se voidaan johtaa vaikka Taylorin sarjalla:
f(a dx) = f(a) f'(a) dx o(dx) = f'(a) dx o(dx)
g(a dx) = g(a) g'(a) dx o(dx) = g'(a) dx o(dx)
jolloin
f(a dx)/g(a dx)
= (f'(a) dx o(dx)) / (g'(a) dx o(dx))
= f'(a) / g'(a) kun dx --> 0
Jos f(a) = g(a) = 0 ja f'(a) = g'(a) = 0, niin vastaavasti
lim f(x) / g(x) = f''(a) / g''(a)
mutta jos f(a) = 0 ja g(a) = 0, mutta f'(x) != 0 ja g'(x) != 0,
niin silloin voidaan sääntöä soveltaa, jos tehdään muunnokset
f'(x)