Olivat selvittäneet pitkälle alkulukujen ja alkulukuparien tarkan määrän. Ja rupesin testaamaan parin arviointikaavan hyvyyttä.
10^23 mennessä oli löytynyt 1 925 320 391 606 803 968 923 alkulukua. Alkulukujen määrälle saadaan hyvä arvio suorittamalla integrointi S(dx/ln(x)), integroituna 2-->10^23. (S tarkoittaa integraalin merkkiä). Integroinnin tulos on 1 925 320 391 614 054 155 134, eli tuli oikein 11 numeroa luvusta jonka pituus on 22 numeroa. Olen testannut arviointikaavaa monessa tapauksessa, ja aina se näyttää antavan puolet desimaaleista oikein.
Alkulukuparien määrä oli selvitetty 10^14 saakka. Niitä löytyi 135 780 321 665 paria. Alkulukuparien määrälle käytin arviointikaavaa 1.320323631*S(dx/(ln(x))^2), integroituna 3-->10^14. Se antoi tuloksen
135 780 264 878 paria. Suhteellinen tarkkuus on 1.00000042.
10^23 mennessä oli löytynyt 1 925 320 391 606 803 968 923 alkulukua. Alkulukujen määrälle saadaan hyvä arvio suorittamalla integrointi S(dx/ln(x)), integroituna 2-->10^23. (S tarkoittaa integraalin merkkiä). Integroinnin tulos on 1 925 320 391 614 054 155 134, eli tuli oikein 11 numeroa luvusta jonka pituus on 22 numeroa. Olen testannut arviointikaavaa monessa tapauksessa, ja aina se näyttää antavan puolet desimaaleista oikein.
Alkulukuparien määrä oli selvitetty 10^14 saakka. Niitä löytyi 135 780 321 665 paria. Alkulukuparien määrälle käytin arviointikaavaa 1.320323631*S(dx/(ln(x))^2), integroituna 3-->10^14. Se antoi tuloksen
135 780 264 878 paria. Suhteellinen tarkkuus on 1.00000042.
Vastaukset 3
Vanhimmat
on kyllä selvitetty paljon pitemmälle.
Lukua 10^(16) pienempiä alkulukupareja ainakin tiedetään olevan 10304195697298 kappaletta.
Ks. esim. http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0208&L=nmbrthry&P=1968
http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
Olin kiinnostunut alkulukujen ja alkulukuparien määrän arviointikaavoista. Näistä vinkeistäsi löytyy yhtä ja toista.
Kaava alkulukujen määrälle N:ään mennessä, S(dx/ln(x)), integroituna 2-->N, on tainnut olla jo pitkäänkin tiedossa. Itse tulin siihen siten että (kai sattumalta ?) totesin, että tarkastipa näyttää paikkansa pitävän.
Alkulukuparien määrälle annetaan kaava (5) 2P*S(dx/(ln(x))^2), integroituna 3-->N, (ensimmäinen vinkkisi). Mutta en saa selvää, mikä on vakion 2P arvo (osaan huonosti englantia). Minä arvelen, että se on 1.32032631... (jonka laskemisen olen selittänyt muutama viikko sitten tällä palstalla). Tämän paremmaksi en pysty vakion arvoa tällä hetkellä laskemaan. Se vaatisi kahden C-kielisen ohjelman yhdistämisen, ja silloinkin saataisiin vain muutama desimaali lisää.
Kaava (7), ensimmäinen vinkki, antaa mahdollisuuden laskea alkulukuparien määrä suoraan (taskulaskimella). 10^9 mennessä se antaa 3413666 paria. Oikea määrä on 3424506 paria, joten tarkkuus on 1.0032. Laskussa käytin alkulukujen oikeaa määrää. Itseni menetelmällä saadaan ennuste 3425317, ja sen tarkkuus on 1.00024.
10^16 mentäessä kaava 1.320323631*S(dx/(ln(x))^2) antaa ennusteen 10304192553757, eli tuli neljätoista numeroisesta luvusta seitsemän ensimmäistä numeroa oikein.
Kyselin tätä täälläkin muutama vuosi sitten. Kukaan ei tuntunut silloin tietävän edes mikä on triljoona (10^18).
Jos ei tiedetä vielä, kuinka monen vuoden päästä tiedetään?