Törmäsin tällaiseen tehtävään:
Määritä luonnolliset luvut a ja b siten, että a^3-b^3=2009.
Aikani pähkäiltyäni tulin siihen tulokseen, että ratkaisua ei ole. Mutta onko tähän mitään helpompaa tai suoraviivaisempaa tapaa? Itse päättelin näin:
a^3-b^3 = 2009
(a-b)(a^2 ab b^2) = 7*7*41
a-b:n pitää siis jakaa 2009, eli a-b = 1, 7, 41, 7*7=49, 7*41=287 tai 2009
a-b=41 tai enemmän ei käy, koska pienimmillä mahdollisilla a-b=41, yhtälö 42^3-1^3 > 2009 ja (a m)^3-(b n)^3 >= a^3-b^3 kun a>b, m>=n ja a,b,m,n luonnollisia lukuja.
a-b=7 ei käy, koska tällöin pitäisi olla:
a^2 ab b^2 = 7*41
a^2 a(a-7) (a-7)^2 = 287
a^2 a^2-7a a^2-14a 49 = 287
3a^2-21a = 287-49
3(a^2-7a) = 238
238 ei kuitenkaan ole jaollinen kolmella.
a-b=1 ei käy, koska tällöin pitäisi olla:
a^2 ab b^2 = 2009
a^2 a(a-1) (a-1)^2 = 2009
a^2 a^2-a a^2-2a 1 = 2009
3a^2-3a = 2009-1
3(a^2-a) = 2008
2008 ei kuitenkaan ole jaollinen kolmella.
Ratkaisua ei siis ole. Menikö oikein ja onko tähän helpompaa tapaa?
Määritä luonnolliset luvut a ja b siten, että a^3-b^3=2009.
Aikani pähkäiltyäni tulin siihen tulokseen, että ratkaisua ei ole. Mutta onko tähän mitään helpompaa tai suoraviivaisempaa tapaa? Itse päättelin näin:
a^3-b^3 = 2009
(a-b)(a^2 ab b^2) = 7*7*41
a-b:n pitää siis jakaa 2009, eli a-b = 1, 7, 41, 7*7=49, 7*41=287 tai 2009
a-b=41 tai enemmän ei käy, koska pienimmillä mahdollisilla a-b=41, yhtälö 42^3-1^3 > 2009 ja (a m)^3-(b n)^3 >= a^3-b^3 kun a>b, m>=n ja a,b,m,n luonnollisia lukuja.
a-b=7 ei käy, koska tällöin pitäisi olla:
a^2 ab b^2 = 7*41
a^2 a(a-7) (a-7)^2 = 287
a^2 a^2-7a a^2-14a 49 = 287
3a^2-21a = 287-49
3(a^2-7a) = 238
238 ei kuitenkaan ole jaollinen kolmella.
a-b=1 ei käy, koska tällöin pitäisi olla:
a^2 ab b^2 = 2009
a^2 a(a-1) (a-1)^2 = 2009
a^2 a^2-a a^2-2a 1 = 2009
3a^2-3a = 2009-1
3(a^2-a) = 2008
2008 ei kuitenkaan ole jaollinen kolmella.
Ratkaisua ei siis ole. Menikö oikein ja onko tähän helpompaa tapaa?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Excel löytää tuolle vastauksen iteroimalla.
Kerrotko vielä mikä se vastaus on?
Lukihäiriö näköjään iski. Tai hyppäsin suoraan yhtälöön. Tai jotain. Pyydän anteeksi.
Eli Excel nimenomaan todistaa _ettei löydy_ ratkaisua. (Desimaalilukuja vastauksena)
,mutta pajon työläämpi kyllä, ja tarvitaan laskinta
Yritetään ratkaista se yhtälö ja merkitään x=a-b , joka on lukujen erotus ja kokonaisluku.
a^3-(a-x)^3=2009, tuosta tulee a:lle toisen asteen yhtälö: (3a^2)-(3ax) (x^2-(2009/x))=0
Tutkitaan vaan diskriminanttia D=(24108/x)-(3x^2)
Yhdelläkään pienemmällä kokonaisluvulla x, kuin 21, diskriminantin arvoksi ei tule sellaista lukua, josta neliöjuureksi tulisi kokonaisluku , eikä edes murtoluku (21:llä menee D jo negatiiviseksi), joten
ei saada a:lle kokonaislukuarvoa, eikä tietenkään b:llekään.
tuo toisen asteen yhtälö jakaa ensin kolmella ja ottaa sitten se iso D, joka on silloin
(8036-x^3)/3x . Nyt ei tarvitse tarkistaa alle 21 äksistä, kuin 3 ja 12, koska silloin nimittäjästä saa
kokonaisluku neliöjuuren, mutta ei niilläkään saada a:lle kokonaislukuarvoa
tietenkään paikkaansa, on ne tarkistettava kaikki.
Kirjoitetaan a=b k ja sijoitetaan yhtälöön. Saadaan k(3b^2 3bk k^2)=2009. Nyt on oltava k|2009. Kun Fermat'n pientä lausetta sovelletaan tapauksessa 3, saadaan k=2 mod 3. Toisaalta selvästi k=1 mod 2, joten k=5 mod 6. Kuten yllä, on oltava k kuuluu joukkoon {1, 7, 41, 49, 287, 2009}, joista ainoastaan luvut 41, 287 ja 2009 ovat 5 mod 6. Mutta yllä osoititkin, jos k>40, niin ratkaisuja ei ole.
"Nyt on oltava k|2009. Kun Fermat'n pientä lausetta sovelletaan tapauksessa 3, saadaan k=2 mod 3."
Miten tuo Fermat'n pienen lauseen soveltaminen tässä tapauksessa tarkalleen ottaen tapahtuu?
"Toisaalta selvästi k=1 mod 2, joten k=5 mod 6"
Jep, tuon minäkin ymmärrän suoraan, että k=1 mod 2. Mutta eikö se ole tässä tapauksessa tavallaan turha tieto, koska jo k=2 mod 3 riittää rajaamaan nuo mahdolliset ratkaisut 1 ja 7 pois, eikö riitäkin?
Juuri tämän tapaisen ratkaisun arvelinkin olevan olemassa, kiitoksia. Vielä kun ymmärtäisin sen. :)
"Miten tuo Fermat'n pienen lauseen soveltaminen tässä tapauksessa tarkalleen ottaen tapahtuu?"
On voimassa k(3b^2 3bk k^2)=3b^2 3bk^2 k^3. Ottamalla modulo 3 saadaan 3b^2 3bk^2 k^3=k^3 mod 3. Fermat'n pienen lauseen mukaan k^2=1 mod 3, joten kertomalla k:lla saadaan k^3=k mod 3. Siispä k=2009=2 mod 3.
"Mutta eikö se ole tässä tapauksessa tavallaan turha tieto, koska jo k=2 mod 3 riittää rajaamaan nuo mahdolliset ratkaisut 1 ja 7 pois, eikö riitäkin?"
Juu. Kirjoitin ratkaisun hutaisten, joten en jaksanut tarkastaa, mitä kaikkea tarvitaan ja mikä on turhaa.
Korjaanpa vielä yksi rivi:
On voimassa k(3b^2 3bk k^2)=3b^2k 3bk^2 k^3. Ottamalla modulo 3 saadaan 3b^2k 3bk^2 k^3=k^3 mod
Eli kun otetaan mod 3, yhtälön k(3b^2 3bk k^2) = 2009 vasen puoli sievenee muotoon k. Ja tämän pitää tietenkin olla sama kuin oikea puoli mod 3.
Enpä olisi tuollaista tullut ajatelleeksi, saati osannut tuota vasenta puolta sieventää.
Kiitoksia paljon. :)