Vertailin muutamien alkulukurykelmien sattumiskertojen määrää. Merkitsen tapauksia kirjaimista a (=alkuluvun paikka) ja j (=jaollisen luvun paikka) muodostetuilla kirjainjonoilla. Silloin esim. aja tarkoittaa alkulukuparia. Vertailtavien rykelmien on sisällettävä yhtä monta alkulukua, siis a:ta.
ajajjjaja on lyhin neljä alkulukua sisältävä rykelmä. Lukuun 2^32 mennessä tämä sattuu 91038 kertaa. Toinen neljä alkulukua sisältävä rykelmä on sitä vähän pidempi ajjjajajjja. Näitä on lukuun 2^32 mennessä 181547 tapausta. Sattumiskertojen suhde 181547/91038=1.9942. Tämä suhdeluku voidaan selittää siten, että rykelmät eivät ole samanarvoisia jollakin (tai joillakin) alkuluvulla jakamisen suhteen: Rykelmässä ajajjjaja 3:lla jaollisuuden on osuttava ensimmäiseen j-paikkaan (jolloin se osuu myös kolmanteen ja viimeiseen), rykelmässä ajjjajajjja sen on osuttava toiseen j (jolloin se osuu myös neljänteen ja kuudenteen j).Tapauksessa ajajjjaja 5:llä jaollisuus osuu keskimmäiseen j-paikkaan, mutta tapauksessa ajjjajajjja 5:llä jaollisuus voi osua toiseen jakolmanteen j-paikkaan. Jatkettaessa tästä eteenpäin jaettaessa 7:llä, 11, 13,... rykelmät ovat taas yhtä todennäköisiä. 5:llä jaollisuus jää ainoaksi eroksi, ja siksi tapauksia ajjjajajjja on kaksi kertaa enemmän kuin ajajjjaja tapauksia.
Lyhin viisi alkulukua sisältävä rykelmä on ajajjjajajjja, ja sen peilattu muoto ajjjajajjjaja. Peilattu tapaus on aina yhtä todennäköinen kuin itse tapauskin. Tämä rykelmä sattuu 2^32 mennessä 10640 kertaa ja peilaus 10655 kertaa, yhteensä 21295 kertaa. Verrataan tämän rykelmän sattumiskertoja rykelmään ajajjjjjajjjaja (peilattuna ajajjjajjjjjaja). Tapaus sattuu 2^32 mennessä 15990 kertaa ja peilaus 16029 kertaa, yhteensä 32019 kertaa. 32019/21295=1.5056. Tämän suhdeluvun selittämiseksi voi todeta että tapaukset ovat yhtä todennäköisiä 3:lla, 5:llä, 11, 13,... jaollisuuden suhteen, mutta eivät 7:llä jaollisuuden. Rykelmässä ajajjjajajjja 7:llä jaollisuus voi osua toiseen ja kolmanteen j-paikkaan (ja naistä paikoiste seitsemän etäisyydellä oleviin j-paikkoihin) osumatta yhteenkään a-paikkaan. Rykelmässä ajajjjjjajjjaja 7:llä jaollisuus voi osua toiseen, kolmanteen ja viidenteen j-paikkaan. Siten esiintymiskertojen suhteen ennuste on 3/2=1.5.
Lyhin kahdeksan alkulukua sisältävä rykelmä on ajajjjajajjjajjjjjajajjjjja (=tapaus(1)). Se sattuu 2^32 mennessä 22 kertaa, ja sen peilattu muoto (=tapaus(1')) 25 kertaa. Keskiarvo on 23.5 kertaa. On olemassa toinenkin, yhtä pitkä, kahdeksan alkulukua sisältävä rykelmä. Se on ajajjjajjjjjajajjjjjajjjaja (=tapaus(2), sen peilattu muoto on tapaus itse). Tämä sattuu 2^32 mennessä 63 kertaa. Jaollisuuden suhteen ryhmät ovat yhtä todennäköisiä jaettaessa luvuilla 3, 5, 13, 17,... ,mutta eivät luvuilla 7 ja 11. Tapaukset (1) ja (1') ovat 7:llä jaollisia yhdellä tavalla, mutta tapaus(2) kahdelle tavalla. Tapaukset (1) ja (1') voivat olla yhdellätoista jaollisia kolmella tavalla siten että ei osuta yhteenkääj a-paikkaan, tapaus(2) neljällä tavalla. Tästä saadaan sattumiskertojen suhteen ennusteeksi 2*(4/3)=2.666. Todellisuudessa se on 63/23.5=2.681.
Vertailtavien rykelmien on oltava niin tiheitä, ettei yhtäkään jaollista paikkaa voida muuttaa alkulukupaikaksi. Esim. alkulukuparien, aja, määrää ei voi verrata tapausten ajjjjja määrään, sillä tässä tapausmäärittelyssä kaksi j-paikkaa voidaan muuttaa a-paikaksi, nimittäin ajajjja tai ajjjaja. Mutta jos mennään hyvin pitkälle, vaikkapa 10^1000, niin silloin ajjjjja-tapausten määrän pitäisi jo olla lähes kaksi kertaa niin suuri kuin aja-tapausten.
ajajjjaja on lyhin neljä alkulukua sisältävä rykelmä. Lukuun 2^32 mennessä tämä sattuu 91038 kertaa. Toinen neljä alkulukua sisältävä rykelmä on sitä vähän pidempi ajjjajajjja. Näitä on lukuun 2^32 mennessä 181547 tapausta. Sattumiskertojen suhde 181547/91038=1.9942. Tämä suhdeluku voidaan selittää siten, että rykelmät eivät ole samanarvoisia jollakin (tai joillakin) alkuluvulla jakamisen suhteen: Rykelmässä ajajjjaja 3:lla jaollisuuden on osuttava ensimmäiseen j-paikkaan (jolloin se osuu myös kolmanteen ja viimeiseen), rykelmässä ajjjajajjja sen on osuttava toiseen j (jolloin se osuu myös neljänteen ja kuudenteen j).Tapauksessa ajajjjaja 5:llä jaollisuus osuu keskimmäiseen j-paikkaan, mutta tapauksessa ajjjajajjja 5:llä jaollisuus voi osua toiseen jakolmanteen j-paikkaan. Jatkettaessa tästä eteenpäin jaettaessa 7:llä, 11, 13,... rykelmät ovat taas yhtä todennäköisiä. 5:llä jaollisuus jää ainoaksi eroksi, ja siksi tapauksia ajjjajajjja on kaksi kertaa enemmän kuin ajajjjaja tapauksia.
Lyhin viisi alkulukua sisältävä rykelmä on ajajjjajajjja, ja sen peilattu muoto ajjjajajjjaja. Peilattu tapaus on aina yhtä todennäköinen kuin itse tapauskin. Tämä rykelmä sattuu 2^32 mennessä 10640 kertaa ja peilaus 10655 kertaa, yhteensä 21295 kertaa. Verrataan tämän rykelmän sattumiskertoja rykelmään ajajjjjjajjjaja (peilattuna ajajjjajjjjjaja). Tapaus sattuu 2^32 mennessä 15990 kertaa ja peilaus 16029 kertaa, yhteensä 32019 kertaa. 32019/21295=1.5056. Tämän suhdeluvun selittämiseksi voi todeta että tapaukset ovat yhtä todennäköisiä 3:lla, 5:llä, 11, 13,... jaollisuuden suhteen, mutta eivät 7:llä jaollisuuden. Rykelmässä ajajjjajajjja 7:llä jaollisuus voi osua toiseen ja kolmanteen j-paikkaan (ja naistä paikoiste seitsemän etäisyydellä oleviin j-paikkoihin) osumatta yhteenkään a-paikkaan. Rykelmässä ajajjjjjajjjaja 7:llä jaollisuus voi osua toiseen, kolmanteen ja viidenteen j-paikkaan. Siten esiintymiskertojen suhteen ennuste on 3/2=1.5.
Lyhin kahdeksan alkulukua sisältävä rykelmä on ajajjjajajjjajjjjjajajjjjja (=tapaus(1)). Se sattuu 2^32 mennessä 22 kertaa, ja sen peilattu muoto (=tapaus(1')) 25 kertaa. Keskiarvo on 23.5 kertaa. On olemassa toinenkin, yhtä pitkä, kahdeksan alkulukua sisältävä rykelmä. Se on ajajjjajjjjjajajjjjjajjjaja (=tapaus(2), sen peilattu muoto on tapaus itse). Tämä sattuu 2^32 mennessä 63 kertaa. Jaollisuuden suhteen ryhmät ovat yhtä todennäköisiä jaettaessa luvuilla 3, 5, 13, 17,... ,mutta eivät luvuilla 7 ja 11. Tapaukset (1) ja (1') ovat 7:llä jaollisia yhdellä tavalla, mutta tapaus(2) kahdelle tavalla. Tapaukset (1) ja (1') voivat olla yhdellätoista jaollisia kolmella tavalla siten että ei osuta yhteenkääj a-paikkaan, tapaus(2) neljällä tavalla. Tästä saadaan sattumiskertojen suhteen ennusteeksi 2*(4/3)=2.666. Todellisuudessa se on 63/23.5=2.681.
Vertailtavien rykelmien on oltava niin tiheitä, ettei yhtäkään jaollista paikkaa voida muuttaa alkulukupaikaksi. Esim. alkulukuparien, aja, määrää ei voi verrata tapausten ajjjjja määrään, sillä tässä tapausmäärittelyssä kaksi j-paikkaa voidaan muuttaa a-paikaksi, nimittäin ajajjja tai ajjjaja. Mutta jos mennään hyvin pitkälle, vaikkapa 10^1000, niin silloin ajjjjja-tapausten määrän pitäisi jo olla lähes kaksi kertaa niin suuri kuin aja-tapausten.
Vastaukset 4
Vanhimmat
oletko kiinnostunut asiasta harrastuspohjalta,
vai onko mielessä jotain muuta syvällisempää?
Harrastelijalle on jo sekin ihmeellistä, että alkulukurykelmien esiintymismääriä voi verrata näinkin yksinkertaisella todennäköisyyspäättelyllä. En osaa sanoa onko kyseessä pelkkä itsestäänselvyys. Mutta itsestäänselvyydeksi se muuttuu minullekin heti kun sitä tulee ajatelleeksi.
(Kun nettiä selailee niin näyttää, että asiantuntijoidenkaan mielenkiinto ei ulotu aja-tapausta syvemmälle. Mutta eivät ne tietysti voi nettiin kaikkea pistää, ainakaan hakusanan ensimmäiselle sivulle.)
neljä alkulukua sisältävä rykelmä taitaa olla
aajaja,
lyhin viisi alkulukua sisältävä ryhmä
aajajajjja
ja niin edelleen, alkaen aina alkuluvusta 2.
Olisivatko jotkut lisärajoitukset paikallaan?
Olisiko ehkä kysymys parittomien alkulukujen rykelmistä?
Kyllä, olet oikeassa. Mutta aajaja esiintyy vain paikassa 2,3,(4),5,(6),7, eikä kertaakaan enää sen jälkeen. aajajajjja vain paikassa 2,3,(4),5,(6),7(8,9,10),11. Jäi mainitsematta, että kakkonen on jätetty tarkasteluista pois. Kakkonen poislukien lyhin kolme alkulukua sisältävä pariton tapaus on ajaja, nimittäin 3,(4),5,(6),7, mutta se on ainoa paikka. Minulle lyhin kolme alkulukua sisältävä tapaus on joko ajajjja tai ajjjaja. Olen kiinnostunut vain 'kaukana' olevasta tilasta, jossa on otettava huomioon jaollisuuden asettamat vaatimukset. Tulee esiin mielenkiintoisia ilmiöitä jo ottamalla huomioon muutama ensimmäinen paritton alkuluku. (Tästä maasta ei muuten näytä löytyvän ainuttakaan alan harrastajaa, nimittäin alan, jossa tietokoneen avulla etsitään alkulukujen joukosta siinä esiintyviä ilmiöitä. Niitä on paljon, ja niitä on helppo löytää. Ei muuta tarvitse kuin tekee Eratostheneen seulalla (vaikkapa) 2^32 ulottuvan alkulukutaulukon, ja sille erilaisia selailuohjelmia. Eikä aiheena tarvitse olla vain alkuluvut, on paljon muutakin.)