teht. anto on Etsi funktion f(x) = 2^x astetta 3 oleva Maclaurinin polynomi.
en ole aivan varma miten toi derivoidaan.. itse mietin että ensimmäinen derivaatta olis x*2^x-1?
ja sit onks seuraava x(x-1)*2^x-2 eli (x^2-x)*2^x-2..?
en ole aivan varma miten toi derivoidaan.. itse mietin että ensimmäinen derivaatta olis x*2^x-1?
ja sit onks seuraava x(x-1)*2^x-2 eli (x^2-x)*2^x-2..?
Vastaukset 4
Vanhimmat
y=2^x
lny=x*ln2
y`/y=ln2
y`=y*ln2=ln2*2^x
z=ln2*2^x
lnz=ln(ln2) x*ln2
z`/z=ln2
z`=z*ln2= ln2*2^x*ln2
jep eli tos on 2 derivaattaa, mut mitenkäs se 3. muodostuu...?
ja tänks, kyl toi vähä avas sitä mulle, mut pitää viel vähä käydä sääntöjä läpi ja kattoo tota et tajuu sen sit kunnol oikein.
käyttää kaavaa: Da^x=a^x*lna
eka derivaatta on 2^x*ln2
toinen derivaatta on ln2*( 2^x)*ln2
ja kolmas on silloin: ln2*ln2*(2^x)*ln2 (kun a=2)
(kaavan johto:
a=e^lna, jolloin a^x=e^(xlna) ja Da^x=e^(xlna)*lna=a^x*lna)
suoraviivaisesti vaikkapa seuraavassa esitetyllä tavalla.
Merkitään
y=2^x
Ottamalla logaritmit molemmilta puolilta saadaan
ln(y) = x ln 2
Derivoimalla x:n suhteen saadaan
y'/y = ln 2
ts.
y' = (ln 2) y
Derivoimalla edelleen x:n suhteen saadaan
y'' = (ln 2) y' = (ln 2) (ln 2) y = (ln 2)^2 y
ja edelleen
y''' = (ln 2)^2 y' = (ln 2)^2 (ln 2) y = (ln 2)^3 y
Sijoittamalla x=0 saadaan
y(0) = 2^0 = 1
y'(0) = (ln 2) y(0) = ln2
y''(0) = (ln 2)^2 y(0) = (ln 2)^2
y'''(0) = (ln 2)^3 y(0) = (ln 2)^3
Kysytty kolmannen asteen Maclaurinin polynomi on siis
p(x) = 1/0! ((ln 2)/1!) x ((ln 2)^2 /2!) x^2 ((ln 2)^3/3!) x^3
= 1 (ln 2)x ((ln 2)^2 /2) x^2 ((ln 2)^3 /6) x^3
PS. Tämä saadaan tietysti myös sijoittamalla x:n tilalle (ln 2)x vastaavaan Maclaurinin polynomiin funktiolle y=e^x