Nyt eläkkeellä aloin huvikseni kerrata matikan alkeita. Otaniemessä aikoinaan ei pahemmin todisteltu, vaan mutkat oiottiin, kunhan "siltä näytti"; siis matematiikka oli suoraviivaista soveltamista. Tällainen tehtävä:
Osoita, että yhtälöllä y^2 = x^2 2x 2 on kaksi ja vain kaksi kokonaisjuuriparia.
Nuo kokonaisjuuriparit kyllä löydän: käsittääkseni ne ovat -1, 1 ja -1,-1; ainakin yhtälö toteutuu noilla. Mutta sana VAIN askarruttaa. Siis miten todistetaan, että nuo juuriparit ovat ainoat?
Osoita, että yhtälöllä y^2 = x^2 2x 2 on kaksi ja vain kaksi kokonaisjuuriparia.
Nuo kokonaisjuuriparit kyllä löydän: käsittääkseni ne ovat -1, 1 ja -1,-1; ainakin yhtälö toteutuu noilla. Mutta sana VAIN askarruttaa. Siis miten todistetaan, että nuo juuriparit ovat ainoat?
Vastaukset 6
Vanhimmat
joka ratkeaa vaikkapa näin.
Todetaan aluksi, että
y^2 = x^2 2x 2 = (x^2 2x 1) 1 = (x 1)^2 1 = z^2 1,
kun merkitään z=x 1 ts. x=z-1.
Nyt x on kokonaisluku silloin ja vain silloin, kun z on kokonaisluku.
Yhtälö saadaan siis muotoon
y^2 = z^2 1, josta
y^2-z^2 =1 ja edelleen
(y-z)(y z) = 1
Luku 1 voidaan jakaa kokonaislukutekijöihin täsmälleen kahdella eri tavalla
1 = (-1)(-1) = 1*1
Siis joko
1)
y-z = -1 ja
y z = -1
tai
2)
y-z = 1 ja
y z = 1
Tapaus 1)
Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vastaavasti vähentämällä ensimmäinen yhtälö puolittain toisesta saadaan yhtälöpari
2y = -2
2z = 0
joista edelleen y=-1 ja z=0, siis y=-1 ja x=z-1=-1
Tapaus 2)
Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vastaavasti vähentämällä ensimmäinen yhtälö puolittain toisesta saadaan yhtälöpari
2y = 2
2z = 0
joista edelleen y=1 ja z=0, siis y=1 ja x=z-1=-1
Ps. Lukion matematiikkakilpailussa oli tänä vuonna mukana muuan tehtävä, joka ratkeaa täsmälleen samanlaista tekniikkaa käyttäen.
Keksin seuraavan idean. Kelvanneeko todistuksesta?
Yhtälöstähän saadaan, kuten esitit, y^2 = (x 1)^2 1. Nyt x = -1 antaa y:lle arvot 1 ja -1, eli kokonaislukuparit ovat nuo -1, 1 ja -1.-1.
Nyt jos x on -1:stä poikkeava kokonaisluku, on myös x 1 kokonaisluku, olkoon se q. Nyt annetusta yhtälöstä saadaan (y q)(y - q) = 1, jolloin y ei voi olla kokonaisluku.
"
Luku 1 voidaan jakaa kokonaislukutekijöihin täsmälleen kahdella eri tavalla
1 = (-1)(-1) = 1*1
"
Tapoja on äärettömän monta, esimerkiksi 1*1, 1*1*1, 1*1*1*1, ... . Luku 1 voidaan kuitenkin esittää kahden kokonaisluvun tulona täsmälleen kahdella tavalla.
Matemaattinen täsmällisyys olisi tietysti edellyttänyt sen mainitsemista, että kysymys on nimenomaan luvun 1 esittämisestä kahden kokonaisluvun tulona. Tämä tarkoitus ilmenee kuitenkin asiayhteydestä.
Pitää paikkansa! Ei siihen enempää tarvita tehtäväasetuksen mukaan.
millä lukua x 1 tässä tehtävässä merkitään, ei ole mitään merkitystä.
Itse valitsin kirjaimen z, ja sinä kirjaimen q.
Algebran perustavaa laatua oleva idea on se, että tuntematonta suuretta (lukua) merkitään jollakin kirjaimella, ja tämän suureen (luvun) sisältäville yhtälöille tehdään sellaisia yleisiä operaatioita, joiden seurauksena yhtälön vasemmalle puolelle saadaan pelkästään ko. suure (luku) ja oikealle puolelle lauseke, jossa kyseistä suuretta (lukua) ei esiinny. Tätä sanotaan yhtälön ratkaisemiseksi.