Suppeneeko sarja k=4 summa ääretön 1/k(k-3) ja miten se toditetaan?
Help !!!
Minä vaan
2200
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 2
Vanhimmat
Osamurtohajotelma
vastaus on paikallaan.
Kysyjä tarkoittanee summaa
summa_{k=4}^ääretön 1/(k(k-3))
Osamurtohajotelmaa käyttäen tämä voidaan laskea vaikkapa seuraavalla tavalla.
Otetaan käyttöön määräämättömät kertoimet A ja B:
1/(k(k-3))
= A/k B/(k-3)
= ((A B)k - 3A)/(k(k-3))
Asettamalla jaettavassa k:n potenssien kertoimet ensimmäisessä ja viimeisessä lausekkeessa saadaan yhtälöt
A B = 0 ja
-3A= 1,
Josta ratkaisuna saadaan A=-1/3 ja B=1/3.
Siis
1/(k(k-3)) = -1/(3k) 1/(3(k-3))
Tarkastellaan katkaistua summalauseketta (n > 6)
summa_{k=4}^n 1/(k(k-3))
= summa_{k=4}^n (-1/(3k) 1/(3(k-3)))
= (-1/3) summa_{k=4}^n (1/k - 1/(k-3))
= (-1/3) [summa_{k=4}^n 1/k - summa_{k=4}^n 1/(k-3)]
= (-1/3) [summa_{k=4}^n 1/k - summa_{k=4}^n 1/(k-3)]
= (-1/3) [summa_{k=4}^n 1/k - summa_{k=1}^{n-3} 1/k]
= (-1/3) [summa_{k=4}^{n-3} 1/k 1/(n-2) 1/(n-1) 1/n - 1 - 1/2 - 1/3 - summa_{k=4}^{n-3} 1/k]
= (-1/3) [1/(n-2) 1/(n-1) 1/n - 1/k - 1 - 1/2 - 1/3 ]
= 11/18 - 1/(3(n-2)) - 1/(3(n-1)) - 1/(3n)
Kun n lähestyy ääretöntä, sen sisältävät termit häviävät ja saadaan
summa_{k=4}^ääretön 1/(k(k-3)) = 11/18