Yritän pakertaa kotona yhtä tilastotieteen cum laude - kurssia. Matikan perustaitoni eivät ole kehuttavat, toki osaan yksinkertaisimpien funktioiden, siis yhden muuttujan funktioiden integroinnin aika sujuvastikin, mutta nyt törmäsin kaksinkertaiseen integraaliin. Laskukaavat ovat tiedossa, kunhan tuo tuplaintegrointi vaan onnistuisi ... Tehtävä:
Kahden normaalijakautuneen satunnaismuuttujan yhteisjakauman tiheysfunktio on
f(x,y) = x^2^y^2, kun 0< x, y < 1, ja 0 muutoin. Laske muuttujien odotusarvot, varianssit ja niiden välinen korrelaatio.
Siis esim. odotusarvolle E(x) = int int x*f(x,y) dxdy = int (from 0 to 1) int (from 0 to 1) x^3y^2 dxdy.
Mutta miten eteenpäin?
Kahden normaalijakautuneen satunnaismuuttujan yhteisjakauman tiheysfunktio on
f(x,y) = x^2^y^2, kun 0< x, y < 1, ja 0 muutoin. Laske muuttujien odotusarvot, varianssit ja niiden välinen korrelaatio.
Siis esim. odotusarvolle E(x) = int int x*f(x,y) dxdy = int (from 0 to 1) int (from 0 to 1) x^3y^2 dxdy.
Mutta miten eteenpäin?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Integroit ensin x:n, ja mitä siitä tulee, sitten y:n suhteen. Havainnollistetaan vähän kirjoittamalla tuo odotusarvo ylimääräisten sulkujen kanssa:
E(x) = int (from 0 to 1)[int from 0 to 1) x^3y^2 dx]dy. Hakasulkujen sisältä tulee
y^2 int (from 0 to 1)x^3 dx = (1/4)y^2.
Sitten E(x) = (1/4) int (from 0 to 1)y^2 dy = 1/12. E(y) on sama, koska tiheysfunktion symmetrinen x:n ja y:n suhteen.
En kirjoittanut välivaiheita, koska sinulla on yhden muuttujan funktion integrointi hallinnassa.
Variansseja varten analogisesti lasket ensin E(x^2) ja E(y^2), ja sitten varianssit neliön odotusarvojen ja odotusarvojen neliöiden erotuksena
Korrelaatiota varten kovarianssi onnistuu myös samaaan tapaan:
Cov(x,y) = E(xy) - E(x)E(y), eli tuo E(xy) täytyy laskea tuplasti integroiden. Ja korrelaation saat tietysti jakamalla kovarianssin muuttujien keskihajontojen tulolla.
Selkis periaate, eihän se tuplaintegrointi tuon kummempaa ollutkaan. Jotain nyt sählään, kun korrelaation arvoksi meinaa tulla yli ykkösen, mutta yrittelen laskea tarkemmin.
Onkos tuo kovarianssin alkuosa sitten
int (from 0 to 1) int (from 0 to 1) x^4y^4 dxdy? Ainakin esittämäsi analogian mukaan pitäisi olla. Luulen että, laskuvirheeni on tässä kohtaa, jos en sitten variansseissa töpännyt.
... kovarianssin alku on E(xy) = int(from 0 to 1) int(from 0 to 1)x^3y^3 dxdy. Mistä kummasta keksit nuo neljännet potenssit - et ainakaan minun analogiaehdotuksestani - huolimattomuusvirhe kai.