Eräässä pelissä pelaaja pussittaa palloja. Pelaaja voi pussittaa korkeintaan N palloa ja yksittäisen pallon todennäköisyys upota on p. Tarkastellaan pussitettujen pallojen lukumäärää ( = sarjan pituus).
1. Kuinka pitkä sarja on keskimäärin?
2. Kuinka pitkä sarja enintään on, jos ajatellaan, että se jatkuu siitä ainakin todennäköisyydellä 50%?
Kyseisessä pelissä N=36 ja hyvillä pelaajilla p>0.85. Päädyin ristiriitaisiin tuloksiin, kun ensimmäisen kysymyksen vastaus oli suurempi kuin toisen kysymyksen vastaus...
1. Kuinka pitkä sarja on keskimäärin?
2. Kuinka pitkä sarja enintään on, jos ajatellaan, että se jatkuu siitä ainakin todennäköisyydellä 50%?
Kyseisessä pelissä N=36 ja hyvillä pelaajilla p>0.85. Päädyin ristiriitaisiin tuloksiin, kun ensimmäisen kysymyksen vastaus oli suurempi kuin toisen kysymyksen vastaus...
Vastaukset 8
Vanhimmat
vaan hävisi.
Raapustelen sitten omani paremman puutteessa. Lähdetään muodostamaan pistetn.funktiota
P(X=n|X≤N) = P(X=n)/P(X≤N) = P(X=n)/ΣP(X=i) = p^n(1-p)/Σp^i(1-p) = p^n/Σp^i = p^n(1-p)/(1-p^N), kun n≤N
ja P(X=n|X≤N) = 0 kun n>N.
Sitten odotusarvo
E(X) = ΣnP(X=n|X≤N) = Σnp^n(1-p)/(1-p^N) = p(1-p)/(1-p^N)Σnp^(n-1)
= (Np^(N 2) - (N 1)p^(N 1) p)/((1-p^N)(1-p)),
tuossa jätin välistä viimeisen summan avaamisen, idea on esittää se kahden sarjan erotuksena ja termeittäin derivointi. Nuo indeksit sitten pitää miettiä itse merkintäongelmien takia...
Toisessa kysytään
P(X≥n|X≤N) = P(n≤X≤N)/P(X≤N) = ... = p^n, kun n≤N ja P(X≥n|X≤N) = 0, kun n>N.
Tarkastellaan n≤N: p^n ≤ 1/2 ⇔ n ≤ ln(1/2)/ln(p).
Kun esim. N=36 ja p=0.90, saadaan 1. E(X) ≈ 8.25 ja 2. n ≤ 6.
Outoa.
Näillä eväillä ja ehdoilla olen sitä mieltä,
että vastaus toiseen kysymykseen on N.
Ei siinä mitään monimutkaisia laskukaavoja
pitäisi tarvita.
Täytyy myöntää, että ajattelin liian oikoisesti.
Asiaa tarkemmin pohdittaessa synnytetään väittely
siitä, onko sarjan jatkumisen kannalta ratkaisevan
seuraavan pussitusonnistumisen tn. 0.85 vai jotain
aivan muuta.
Aloittajan varsinaisessa "paradoksissa" en huomaa
mitään ristiriitaa.
Ilman tarkistuslaskuja tuntuisi olevan mahdollista,
että onnistumissarjojen pituuden keskiarvo ylittää
"pisimmän mahdollisen sarjan" pituuden, jos jatkon
ehdot määritellään sopivasti.
Valistumaton arvakseni on, että aloittaja pohtii
ongelmaa: Montako pitkävedon singleä tai hevospelin
voittajaa "osuu putkeen" ennenkuin perse aukeaa.
On varmaa, että N pussituksen jälkeen sarja ei enää jatku. Olisin kiinnostunut tietämään lisää siitä, miten tuo näennäinen ristiriita syntyy. Onkohan laskut edes oikein? Löysit siis jonkun analogian uhkapeleihin, mielenkiintoista, vaikken sitä ymmärtänytkään.
Oletko Heikki jo miettinyt asiaa tarkemmin? Aika vähän tuntuu tulevan vastauksia tähän avaukseen.
Mielestäni kommentoin jo tarpeeksi ongelmaa:
"Miksi suurin on pienempi kuin keskiarvo?"
Keskiarvo ilmeisesti lasketaan "putkille", joiden
pituutta ei mitenkään rajoiteta.
"Pisimmän putken" pituutta taas rajoitetaan tietyllä
"todennäköisyysrajalla", ei tässä mitään paradoksia
ole.
Laskujen oikeellisuutta en viitsi ryhtyä tarkistamaan.
Jos laskut ovat oikein, selviää "paradoksin olemattomuus"
kun sijoitetaan kaavoihin erilaisia lukuja lukujen
"tn. 0.85" ja "50 prosenttia" tilalle.
Jos minun on "pakko" ryhtyä näitä laskeskelemaan,
tarvitsen pari täsmennystä:
1. Lasketaanko myös nolla- ja yksimittaiset "putket"?.
2. Huomioidaanko samassa 36 heiton sarjassa kaikki
pisintä putkea lyhyemmätkin putket?
Periaatteessa kysymykset ovat tosiaan erilaiset. Täsmennyksistä sen verran, että kaikenmittaiset sarjat otetaan huomioon, mutta toista en ymmärtänyt kokonaan. Jos teet 36 pussituksen sarjan, eli pussitat kaikki pallot, et ole samalla tehnyt pienempiä sarjoja. Sarja loppuu ensimmäiseen epäonnistumiseen.