Osoita, että samansäteisen ympyrän ja astroidikäyrän pinta-alojen suhde on 3/8. Astroidikäyrä on
x^(2/3) (y^(2/3) = a^(2/3), jossa säde a > 0.
Vaativampi haaste: mikä on ympyrän ja käyrän x^(p/q) y^(p/q) = a^(p/q), a, p, q > 0, pinta-alojen suhde?
Tunnen Eulerin integraaleihin perustuvan osoituksen/todistuksen ensimmäiseen kysymykseen, mutta luulisi helpommankin tavan löytyvän.
x^(2/3) (y^(2/3) = a^(2/3), jossa säde a > 0.
Vaativampi haaste: mikä on ympyrän ja käyrän x^(p/q) y^(p/q) = a^(p/q), a, p, q > 0, pinta-alojen suhde?
Tunnen Eulerin integraaleihin perustuvan osoituksen/todistuksen ensimmäiseen kysymykseen, mutta luulisi helpommankin tavan löytyvän.
Vastaukset 7
Vanhimmat
A=SS(dxdy) x=acos^3(t)=>dx=-3acos^2(t)sin(t)dt
y=asin^3(t)=>dy=3asin^2tcos(t)dt
A=SS(–9a^2(sin(t)cos(t))^3)dtdt, tuosta pitäisi tulla koko kuvion ala, kun integroimisrajat osaa
laittaa oikein. S on siis määrätty integraali.
pitänyt laskea alan kahdeksasosaa, jolloin integroimisrajat ovat pii/4:sta nollaan ja nollasta pii/4:een.
Siitä puuttui vielä puolikas edestäkin.
A/8=1/2*(-9)a^2*SS(sin(t)^3*cos(t)^3)dtdt. Ensimmäinen integrointi on hankala, mutta netistähän se löytyy.
/1/192(cos(6t)-9(cos(2t)). Sijoituksen jälkeen tulee: 36*a^2/192 ja se integroituna toiseen kertaan t:n
suhteen ja sijoitettuna:36*a^2/192*pii/4. Ja kun tuo oli alan kahdeksaosa, niin koko ala on 3/8*a^2*pii
on tietysti väärin, mutta tässä olisi....
A= SS(dxdy) (ei mitään puolikasta eteen)
x=acos^3t , josta dx=-3acos^2(t)sin(t)dt
y=asin^3(t) , josta dy= 3asin^2(t)cos(t)dt
A=-9a^2*SS(((sin(t)cos(t))^3)dtdt
Lasketaan eka neljänneksen ala, jolloin x:n sekä y:n liikematka on a , ja koska
tan^3(t)=y/x, niin
t saadaan: tan^3(t)=a/a=1, joten t.:n raja on pii/4
Eka integrointi: pii/4--0 ja toinen: 0--pii/4 (alaraja ekana)
(sin(t)cos(t))^3=(sin(2t)/2)^3=1/8(sin(2t))^3
Tällainen kaava on taulukoissa (ja se voidaan helposti sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoilla, kaksinkertaisen sinin ja kosinin kaavoilla sekä Pytagoraaan lauseella johtaakin)
Sin^3(t)=¼(3sin(t)-sin(3t)), sijoitetaan tuo, ja tulee
1/32(3sin(2t)-sin(6t)), ja tuon integraali on: 1/32(((-3/2cos(2t)) (1/6cos(6t)))=1/192(cos(6t)-9cos(2t))
Ensimmäinen sijoitus: A=-9a^2/192*(1-9)=72/192*a^2
Toiseen kertaan integroituna ja sijoitettuna: A=72/192*(pii/4)*a^2
Ja koko kuvion ala 4*A, eli 3/8pii*a^2
Astroidi voidaan parametroida näin:
x(t) = a cos^3(t)
y(t) = a sin^3(t),
Pinta ala on Greenin teoreemaa ja muutamaa trigometristä identiteettiä käyttäen:
1/2 int [x y' - y x'] dt
= 1/2 int [a cos^3(t) a 3 cos(t) sin^2(t) a sin^3(t) a 3 sin(t) cos^2(t)] dt
= 1/2 int [3 a^2 cos^4(t) sin^2(t) 3 a^2 sin^4(t) cos^2(t)] dt
= 1/2 int [3 a^2 cos^2(t) sin^2(t) (cos^2(t) sin^2(t)) ] dt
= 1/2 int [3 a^2 cos^2(t) sin^2(t) ] dt
= 1/2 int [3/4 a^2 sin^2(2t) ] dt
= 1/2 int [3/8 a^2 (1 - cos(4t)) ] dt
= 3/8 pi a^2
Tuossa toisessa pitäisi ensin keksiä jotkut funktiot s(t) ja c(t) s.e.
s^p(t) c^p(t) = 1
sitten homma saadaan purkkiin Greenin teoreemalla parametroinnilla
x(t) = a c^q(t)
y(t) = a s^q(t)
Tuo parametrisointi on kerrankin hyödyllistä. Kiitokset myös edelliselle vastaajalle.
Ei tuo yleinen muoto yleensä edes muodosta suljettua käyrää, jolloin pita-alalla olisi
mielekäs tulkinta. Esim. p=q=1 eli x y=a on suora A=0.
Eli ongelma lienee vaikeampi kun pitää tarkastella mahdollisia p ja q arvoja.
Taitaa sopivilla arvoilla syntyä myös neliö. Juu, tuo p:n ja q:n arvojen tarkastelu on todella tarpeen. Täytyypä joskus ottaa oikein asiakseen.