Tuli mieleen etsiä parilliset luvut joita kohden sattuu erittäin paljon Goldbachin tapauksia. Tein asiasta ohjelman ja pistin koneen töihin.
Seuraavassa parillisen luvun 2p Goldbachin tapaukseksi sanon alkulukuparia a1, a2, jolle a1 a2=2p, (a1 < a2 tai a1=a2). Goldbachin maksimi tarkoittaa parillista lukua, jota kohden saadaan enemmän tapauksia kuin millekään sitä edeltäneelle parilliselle.
Etsin maksimipaikat lukuun 2p=2*10^6 saakka. Siihen mennessä on 183 maksimia. Kun suorittaa maksimipisteiden tekijöihin jaon, huomaa että kaikki paikat ovat lukuja, jotka ovat monen pienen tekijän tuloja. Aina ne sisältävät jonkin mittaisen alkulukukertoman (esim. yhdentoista alkulukukertoma tarkoittaa lukua 2*3*5*7*11). Maksimista 4410 lähtien kaikkien maksimien tulontekijöihin näyttää kuuluvan seitsemän alkulukukertoma, 4410=2*3*5*7*(3*7). Toinen huomio on se, että kaikki alkulukukertomat ovat maksimikohtia (paitsi 30=2*3*5). Ne ovat vahvoja maksimeita, ja se tarkoittaa sitä, että Goldbachin tapausmäärä kasvaa sellaisen maksimin kohdalla paljon, ja se säilyy maksimina pitkään.
Mistä sitten voi päätellä mikä parillinen luku on maksimi, ja mikä ei. 2310=2*3*4*7*11 ja 2730=2*3*5*7*13 ovat peräkkäiset maksimit. Voisi ajatella että siinä välissä oleva 2520=2*3*5*7*12=2*2*2*3*3*5*7 olisi myös maksimi. Mutta maksimi se ei ole. Sitä kohden saadaan 112 Goldbachin tapausta, mutta 2310 antaa 115 Gb-tapausta. Yritin keksiä 2p:n tulontekijöiden perusteella jonkin säännön, joka ennustaisi mikä on maksimipaikka. Mutta ei onnistunut, yritys on liian yksinkertainen.
Sitten otin lisäksi huomioon paikan suuruuden (nimittäin 2p:n) ja laskin sitä vastaavan vertailuluvun v (v on desimaaliluku, vaikka siitä jatkossa ilmoitetaan vain kokonaisosa). Seuraavassa on vertailuluvun lasku ja esimerkkinä on parillinen luku 531300=2*2*3*5*5*7*11*23. Aluksi pistetään v=1.0. Tekijöitä 2 ei oteta huomioon. Sen jälkeen jokainen alkulukutekijä (=a) aiheuttaa v:n kertomisen luvulla (a-1)/(a-2). Jos jokin luku esiintyy tekijöihin jaossa useammin kuin kerran, tässä tapauksessa 5, se otetaan huomioon vain yhden kerran. Lopuksi kerrotaan vielä luvulla 2p. Vertailuluvuksi tulee siten (2/1)*(4/3)*(6/5)*(10/9)*(22/21)*531300=1979022.
Arvelin että maksimi saadaan aina sen 2p kohdalla, jolloin vertailuluku kasvaa. ja että vertailuluku kasvaa vain maksimien kohdalla. Edellä oleva luku ei ole maksimikohta. Syy on se, että jo paikassa 510510=2*3*5*7*11*13*17 saadaan sitä isompi vertailuluku (2/1)*(4/3)*(6/5)*(10/9)*(12/11)*(16/15)*510510=2112171.
Aluksi vertailuluku ei ole varma tapa maksimipaikkoja etsittäessä. Mutta kun mennään pidemmälle, ennustusvarmuus kasvaa. Välillä 2*10^5 ->2*10^6 on 72 maksimia. Niistä 3 jää vertailuluvun perusteella huomaamatta. Kaksi paikkaa on sellaista, joiden vertailuluvun perusteella pitäisi olla maksimipaikkoja, mutta todellisuudessa eivät ole.
Varmat maksimien paikat etsin 2*10^6 saakka. Aikaa kone käytto 40 min., ja maksimeita löytyi 183 kappaletta. Jos tästä jatkaisi eteenpäin vaikkapa 10^8 saakka, niin aikaa menisi jo parisen kuukautta. Siksi etsin seuraavat maksimit kasvavan vertailuluvun perusteella. Väliltä 2*10^6 ->10^8 löytyi (oletettuja) maksimeita 161 kappaletta. Tämä etsintä menee äkkiä läpi, ja tuloksen pitäisi olla lähestulkoon oikea.
Maksimit ovat harvassa: 6 -> 10^8 on vain 344 maksimia.
Goldbachin tapausten määrä maksimipisteissä on ihmeen suuri: 510510=2*3*5*7*11*13*17 on maksimi. Sitä kohden on 9493 Goldbachin tapausta. Yksi tapaus koskee kahta alkulukua (nimittäin a1 a2=2p). 510510 mennessä on 42331 alkulukua. Tässä maksimikohdassa 2*9493/42441=0.4485. Tämä tarkoittaa sitä, että noin 45 prosenttia maksimikohtaan mennessä olevista alkuluvuuista on osallisena johonkin Gb-tapaukseen.
Seuraavassa parillisen luvun 2p Goldbachin tapaukseksi sanon alkulukuparia a1, a2, jolle a1 a2=2p, (a1 < a2 tai a1=a2). Goldbachin maksimi tarkoittaa parillista lukua, jota kohden saadaan enemmän tapauksia kuin millekään sitä edeltäneelle parilliselle.
Etsin maksimipaikat lukuun 2p=2*10^6 saakka. Siihen mennessä on 183 maksimia. Kun suorittaa maksimipisteiden tekijöihin jaon, huomaa että kaikki paikat ovat lukuja, jotka ovat monen pienen tekijän tuloja. Aina ne sisältävät jonkin mittaisen alkulukukertoman (esim. yhdentoista alkulukukertoma tarkoittaa lukua 2*3*5*7*11). Maksimista 4410 lähtien kaikkien maksimien tulontekijöihin näyttää kuuluvan seitsemän alkulukukertoma, 4410=2*3*5*7*(3*7). Toinen huomio on se, että kaikki alkulukukertomat ovat maksimikohtia (paitsi 30=2*3*5). Ne ovat vahvoja maksimeita, ja se tarkoittaa sitä, että Goldbachin tapausmäärä kasvaa sellaisen maksimin kohdalla paljon, ja se säilyy maksimina pitkään.
Mistä sitten voi päätellä mikä parillinen luku on maksimi, ja mikä ei. 2310=2*3*4*7*11 ja 2730=2*3*5*7*13 ovat peräkkäiset maksimit. Voisi ajatella että siinä välissä oleva 2520=2*3*5*7*12=2*2*2*3*3*5*7 olisi myös maksimi. Mutta maksimi se ei ole. Sitä kohden saadaan 112 Goldbachin tapausta, mutta 2310 antaa 115 Gb-tapausta. Yritin keksiä 2p:n tulontekijöiden perusteella jonkin säännön, joka ennustaisi mikä on maksimipaikka. Mutta ei onnistunut, yritys on liian yksinkertainen.
Sitten otin lisäksi huomioon paikan suuruuden (nimittäin 2p:n) ja laskin sitä vastaavan vertailuluvun v (v on desimaaliluku, vaikka siitä jatkossa ilmoitetaan vain kokonaisosa). Seuraavassa on vertailuluvun lasku ja esimerkkinä on parillinen luku 531300=2*2*3*5*5*7*11*23. Aluksi pistetään v=1.0. Tekijöitä 2 ei oteta huomioon. Sen jälkeen jokainen alkulukutekijä (=a) aiheuttaa v:n kertomisen luvulla (a-1)/(a-2). Jos jokin luku esiintyy tekijöihin jaossa useammin kuin kerran, tässä tapauksessa 5, se otetaan huomioon vain yhden kerran. Lopuksi kerrotaan vielä luvulla 2p. Vertailuluvuksi tulee siten (2/1)*(4/3)*(6/5)*(10/9)*(22/21)*531300=1979022.
Arvelin että maksimi saadaan aina sen 2p kohdalla, jolloin vertailuluku kasvaa. ja että vertailuluku kasvaa vain maksimien kohdalla. Edellä oleva luku ei ole maksimikohta. Syy on se, että jo paikassa 510510=2*3*5*7*11*13*17 saadaan sitä isompi vertailuluku (2/1)*(4/3)*(6/5)*(10/9)*(12/11)*(16/15)*510510=2112171.
Aluksi vertailuluku ei ole varma tapa maksimipaikkoja etsittäessä. Mutta kun mennään pidemmälle, ennustusvarmuus kasvaa. Välillä 2*10^5 ->2*10^6 on 72 maksimia. Niistä 3 jää vertailuluvun perusteella huomaamatta. Kaksi paikkaa on sellaista, joiden vertailuluvun perusteella pitäisi olla maksimipaikkoja, mutta todellisuudessa eivät ole.
Varmat maksimien paikat etsin 2*10^6 saakka. Aikaa kone käytto 40 min., ja maksimeita löytyi 183 kappaletta. Jos tästä jatkaisi eteenpäin vaikkapa 10^8 saakka, niin aikaa menisi jo parisen kuukautta. Siksi etsin seuraavat maksimit kasvavan vertailuluvun perusteella. Väliltä 2*10^6 ->10^8 löytyi (oletettuja) maksimeita 161 kappaletta. Tämä etsintä menee äkkiä läpi, ja tuloksen pitäisi olla lähestulkoon oikea.
Maksimit ovat harvassa: 6 -> 10^8 on vain 344 maksimia.
Goldbachin tapausten määrä maksimipisteissä on ihmeen suuri: 510510=2*3*5*7*11*13*17 on maksimi. Sitä kohden on 9493 Goldbachin tapausta. Yksi tapaus koskee kahta alkulukua (nimittäin a1 a2=2p). 510510 mennessä on 42331 alkulukua. Tässä maksimikohdassa 2*9493/42441=0.4485. Tämä tarkoittaa sitä, että noin 45 prosenttia maksimikohtaan mennessä olevista alkuluvuuista on osallisena johonkin Gb-tapaukseen.
Vastaukset
Vanhimmat
Ei vielä vastauksia
Aloittaja odottaa vastauksia. Kerro oma näkemyksesi ensimmäisenä.