Hei
Ongelma liittyy todistukseen, jota en täysin ymmärrä.
Esimerkiksi miten todistaa onko funktiolla f(x,y) = y^3 / (x^2 y^2) raja-arvo origossa kun (x,y)->(a,b).
Jos funktiolla on raja-arvo sen täytyy olla 0, tämä selvä. (näkyy mm. lähestyttäessä eri koord.akselilta origoa).
Määritelmän mukaan funktiolla on raja-arvo, jos on olemassa positiivinen luku δ = δ(e) siten, että |f(x,y) - L| on < e kun 0 < sqrt( (x-a)^2 (y b)^2 ) < δ
Muodostetaan f ja raja-arvon erotus:
|f(x,y) - L| < e kun sqrt( (x-a)^2 (y b)^2 ) < δ
Koska L on 0 (mikäli se on olemassa) ja (a,b)=(0,0) saadaan
|y^3/(x^2 y^2)| < e kun sqrt( x^2 y^2 ) < δ
Tässä kohtaa tulee stoppi, esimerkin mukaan
|y^3/y^2| = |y| = sqrt(y^2) < e
Miksi x^2 on supistettu pois nimittäjästä?
Kiitos etukäteen
Ongelma liittyy todistukseen, jota en täysin ymmärrä.
Esimerkiksi miten todistaa onko funktiolla f(x,y) = y^3 / (x^2 y^2) raja-arvo origossa kun (x,y)->(a,b).
Jos funktiolla on raja-arvo sen täytyy olla 0, tämä selvä. (näkyy mm. lähestyttäessä eri koord.akselilta origoa).
Määritelmän mukaan funktiolla on raja-arvo, jos on olemassa positiivinen luku δ = δ(e) siten, että |f(x,y) - L| on < e kun 0 < sqrt( (x-a)^2 (y b)^2 ) < δ
Muodostetaan f ja raja-arvon erotus:
|f(x,y) - L| < e kun sqrt( (x-a)^2 (y b)^2 ) < δ
Koska L on 0 (mikäli se on olemassa) ja (a,b)=(0,0) saadaan
|y^3/(x^2 y^2)| < e kun sqrt( x^2 y^2 ) < δ
Tässä kohtaa tulee stoppi, esimerkin mukaan
|y^3/y^2| = |y| = sqrt(y^2) < e
Miksi x^2 on supistettu pois nimittäjästä?
Kiitos etukäteen
Vastaukset 6
Vanhimmat
Kysyt "Esimerkiksi miten todistaa onko funktiolla f(x,y) = y^3 / (x^2 y^2) raja-arvo origossa kun (x,y)->(a,b)". Ei kysymyksiä voi todistaa. Joko todistetaan, että sillä on raja-arvo tai että sillä ei ole raja-arvoa. Voidaan myös todistaa, että raja-arvo, jos se on, on jokin tietty arvo, mutta kysymystä "onko" ei voi todistaa.
Ihan tuosta vaan ei sitä termiä x^2 kyllä sieltä voi poistaa, koska vaikeus näissä 2d-raja-arvoissa on se, että raja-arvo pitää olla sama lähestyttiin sitä pistettä mitä käyrää pitkin tahansa. Siispä ei riitä, että _on_olemassa_ (x,y) joille sqrt(x^2 y^2) < δ => |y^3/(x^2 y^2)| < e vaan se pitää olla _kaikilla_ < δ.
En nyt ihan tiedä, mitä tuossa on tehty. Minusta on helpointa ajatella, että koska x->0, niin voidaan olettaa, että -10, jolloin myös alkuperäinen raja-arvo on nolla.
Hmm. Tämä poistaa näköjään tägimerkintöjä. Helpointa on siis olettaa, että x on lukujen -1 ja 1 välissä, jolloin alkuperäinen lausekeen arvo on lausekkeiden y^3 / (1 y^2) ja y^3 / y^2 välissä, joista kummankin raja-arvo on 0 kun y menee kohti nollaa.
Arvioidaan f(r,θ) = [rcos(θ)]³/r² = rcos³(θ) ≤ r. Valitaan δ = e, eli |x-0| = |x| = r < δ = e ⇒ |f(r,θ)-0| = f(r,θ) ≤ r < e.
|f(r,θ)-0| = |f(r,θ)| ≤ r < e. Joka tapauksessa käy ilmi, ettei lähestymissuunta vaikuta raja-arvoon tässä tapauksessa.