Derivaattaa vaihteeksi

Eli muodostat kaksi yhtälöä.
a b=11
a^2 b^2 = x

Jonka jälkeen ratkaistaan ensimmäisestä, vaikka b = 11 - a.
Tämän jälkeen sijoitetaan kyseinen yhtälö toiseen. a^2 (11-a)^2 = x.
Etsitään ääriarvokohta asettamalla dx/da = 0
f '(a) = 2a 2(11-a)(-1) = 0
...
a = 11/2
Sijoitetaan se toiseen saadaan, että b = 11/2
11/2 11/2 = 11
Ja neliöiden summa on ~ 60.5

Toivottavasti tämä selvensi.

Tai miten määritetään tietyn funktion derivaatan f0(x) pienin mahdollinen arvo.
Me vastaame:
Funktion derivaatta on myös eräs funktio. Sen pienin mahdollinen arvo määritetään samalla tavalla kuin yleensäkin funktion pienin mahdollinen arvo. Silloin tehdään suurin piirtein seuraavanlaisia temppuja:

- Mikä on se x-arvojen väli, jolla sijaitseva pienin mahdollinen arvo pitäisi määrätä?
- Jos alueena on koko x-akseli, niin miten funktio käyttäytyy, kun x-arvo menee -äärettömyyteen tai äärettömyyteen? Esimerkiksi funktio y = x^3 menee -äärettömäksi kun x lähestyy -ääretöntä. Sen pienin mahdollinen arvo on siis -ääretön (vähän epätäsmällinen ilmaus).
- Jos alueena on väli [a, b], niin pienin mahdollinen arvo saavutetaan joko välin sisäpisteessä tai pisteissä a tai b. Lasketaan siis funktion arvot f(a) ja f(b).
- Onko funktio jatkuva (kiltisti käyttätyvä) välillä [a,b]. Jos ei ole, niin katsotaan onko sillä kohtaa, missä se lähenee -ääretöntä. Esimerkiksi funktio y = 1/x ei ole jatkuva pisteessä 0, vaan se lähenee -ääretöntä, kun x lähenee 0 negatiiviselta puolelta ja ääretöntä kun z lähenee 0 positiiviselta puolelta. Voidaan siis esimerkiksi sanoa, että välillä [-1,1] funktion y = 1/x pienin mahdollinen arvo lähenee -ääretöntä.
- Olkoon lopuksi funktio jatkuva välillä [a,b]. Jos lisäksi sen derivaatta on olemassa, löytyvät mahdolliset pienimmät arvot derivaatan 0-kohdista. Nollakohta on paikallinen minimi, jos sen läheisyydessä vasemmalla ja oikealla puolella funktio saa suurempia arvoja kuin nollakohdassa. Tavallinen koulutemppu on tutkia toisen derivaatan merkkiä nollakohdassa. Jos f"(z) > 0, ja f'(z) = 0, niin z on paikallinen minimi.
- Lasketaan funktion arvot kaikissa välin [a,b] paikallisissa minimikohdissa. Valitaan niistä ja arvoista f(a) ja f(b) pienin. Se on pienin funktion mahdollinen arvo välillä [a,b].
- Muistettakoon vielä, että derivaatan nollakohta ei suinkaan ole aina paikallinen minimi. Esimerkiksi funktion y = x^3 derivaatta 3x^2 on 0 pisteessä 0, mutta toinen derivaatta 6x on myös 0. Piste 0 ei kuitenkaan ole paikallinen minimi, koska siitä vasemmalle on alamäki ja oikealle ylämäki.
- Jos funktion derivaatta ei ole jatkuva tai sitä ei ole edes olemassa, niin tilanne mutkistuu entisestään, mutta jätetään se varsinaisten matemaatikoiden päänsäryksi.