Mulla olisi kysyttävää derivoinnista. En vieläkään muista "automaattisesti", miten tällaiset lasketaan.
"Määritä luvut, joiden summa 11 ja joiden neliöiden summa mahdollisimman pieni."
Tai miten määritetään tietyn funktion derivaatan f0(x) pienin mahdollinen arvo. Tuota en ymmärrä!
Osaisiko joku hjelppiä?
"Määritä luvut, joiden summa 11 ja joiden neliöiden summa mahdollisimman pieni."
Tai miten määritetään tietyn funktion derivaatan f0(x) pienin mahdollinen arvo. Tuota en ymmärrä!
Osaisiko joku hjelppiä?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Eli muodostat kaksi yhtälöä.
a b=11
a^2 b^2 = x
Jonka jälkeen ratkaistaan ensimmäisestä, vaikka b = 11 - a.
Tämän jälkeen sijoitetaan kyseinen yhtälö toiseen. a^2 (11-a)^2 = x.
Etsitään ääriarvokohta asettamalla dx/da = 0
f '(a) = 2a 2(11-a)(-1) = 0
...
a = 11/2
Sijoitetaan se toiseen saadaan, että b = 11/2
11/2 11/2 = 11
Ja neliöiden summa on ~ 60.5
Toivottavasti tämä selvensi.
Tai miten määritetään tietyn funktion derivaatan f0(x) pienin mahdollinen arvo.
Me vastaame:
Funktion derivaatta on myös eräs funktio. Sen pienin mahdollinen arvo määritetään samalla tavalla kuin yleensäkin funktion pienin mahdollinen arvo. Silloin tehdään suurin piirtein seuraavanlaisia temppuja:
- Mikä on se x-arvojen väli, jolla sijaitseva pienin mahdollinen arvo pitäisi määrätä?
- Jos alueena on koko x-akseli, niin miten funktio käyttäytyy, kun x-arvo menee -äärettömyyteen tai äärettömyyteen? Esimerkiksi funktio y = x^3 menee -äärettömäksi kun x lähestyy -ääretöntä. Sen pienin mahdollinen arvo on siis -ääretön (vähän epätäsmällinen ilmaus).
- Jos alueena on väli [a, b], niin pienin mahdollinen arvo saavutetaan joko välin sisäpisteessä tai pisteissä a tai b. Lasketaan siis funktion arvot f(a) ja f(b).
- Onko funktio jatkuva (kiltisti käyttätyvä) välillä [a,b]. Jos ei ole, niin katsotaan onko sillä kohtaa, missä se lähenee -ääretöntä. Esimerkiksi funktio y = 1/x ei ole jatkuva pisteessä 0, vaan se lähenee -ääretöntä, kun x lähenee 0 negatiiviselta puolelta ja ääretöntä kun z lähenee 0 positiiviselta puolelta. Voidaan siis esimerkiksi sanoa, että välillä [-1,1] funktion y = 1/x pienin mahdollinen arvo lähenee -ääretöntä.
- Olkoon lopuksi funktio jatkuva välillä [a,b]. Jos lisäksi sen derivaatta on olemassa, löytyvät mahdolliset pienimmät arvot derivaatan 0-kohdista. Nollakohta on paikallinen minimi, jos sen läheisyydessä vasemmalla ja oikealla puolella funktio saa suurempia arvoja kuin nollakohdassa. Tavallinen koulutemppu on tutkia toisen derivaatan merkkiä nollakohdassa. Jos f"(z) > 0, ja f'(z) = 0, niin z on paikallinen minimi.
- Lasketaan funktion arvot kaikissa välin [a,b] paikallisissa minimikohdissa. Valitaan niistä ja arvoista f(a) ja f(b) pienin. Se on pienin funktion mahdollinen arvo välillä [a,b].
- Muistettakoon vielä, että derivaatan nollakohta ei suinkaan ole aina paikallinen minimi. Esimerkiksi funktion y = x^3 derivaatta 3x^2 on 0 pisteessä 0, mutta toinen derivaatta 6x on myös 0. Piste 0 ei kuitenkaan ole paikallinen minimi, koska siitä vasemmalle on alamäki ja oikealle ylämäki.
- Jos funktion derivaatta ei ole jatkuva tai sitä ei ole edes olemassa, niin tilanne mutkistuu entisestään, mutta jätetään se varsinaisten matemaatikoiden päänsäryksi.
Löytyisiköhän netistä infoa, kun en yhtään tajua, mitä tarkoittaa merkintä e?
Jaksaisiko joku selittää sen ja auttaa tässä tehtävässä:
f(x)=e^x-e*(-x)-x 1
Tuo pitää derivoida, tuleeko e^x-e^(-x)-1? Sitten etsitään pienin mahdollinen arvo ja näytetään, että vain yksi nollakohta on olemassa. Tuo e sotkee aivan liikaa!
http://fi.wikipedia.org/wiki/Neperin_luku
Jep löysin, mutta miten se "toimii" lausekkeissa? :/
Siellä sanottiin "Tutkittaessa eksponenttifunktioiden derivaattoja havaitaan, että löytyy tapaus, jolloin c^x = D(c^x), kun c = e. Toisin sanoen Neperin luku on siis määritelty niin, että funktio f(x) = c^x ja sen derivaatta ovat täsmälleen samoja kun c = e:"
Näin ollen funktion e^x derivaatta on myös e^x.