Oletetaan A ja B ortogonaalisiksi ja lisäksi, että det(A) = -det(B). Miten osoitetaan ettei A B käänny? Varmasti helppo, mutta nyt jumittaa pahemman kerran.
determinantti
pölkkky
6276
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Mutta oli kaukana helposta. Ominaisarvoilla pääsin kiinni.
Mielenkiinnon ja/tai kertauksen vuoksi olisi mukavaa nähdä todistus. Nimimerkki ffffs saattaisi näyttää sellaisen muutamalla rivillä, mutta ei siitä enempää.
Jostain muistisyövereistä on tunkevinaan ajatus, että riippumattomilla (siis orgonaalisilla) matriiseilla determinanttien summa olisi sama kuin matriisien summan determinantti. Liekö ongelman loihtima kuvitelma? Kokeilin kyllä nopeasti kahdella 2x2 -matriisilla, ja siinä oli näin, liekö sitten sattumaa?
Jos näin on, niin kääntäminen ei tietenkään onnistu, kun det(A) det(B) = 0.
Determinanttien summa ei ole yleisesti ottaen sama kuin summa determinantti. Tehtävästä päätellen ortogonaalisille matriiseille näin kuitenkin tässä tilanteessa on, mutta sehän se onkin mitä tässä pitää todistaa. det(A) det(B)=0 => A B ei invertoidu => det(A B) = 0.
Jos liikutaan reaalimatriiseissa A ja B...
Merkinnät:
A' on A transpoosi.
Koska A ja B ortogonaalisia on voimassa A'A=AA'=I ja B'B=BB'=I
det(A B)=det((A B)')=det( B'(A B)A' )=det(B')det(A')det(A B)=det(A)det(B)det(A B)=-(det(A))^2det(A B)
Siis det(A B)=-(det(A))^2det(A B). Tämä yhtälö voi toteutua vain, jos det(A B)=0, sillä muutoin
saataisin -det(A)^2=1 eli det(A) olisi kompleksinen, joka on mahdotonta jos A reaalimatriisi.
Siis det(A B)=0.
Tehtävä on reaalimatriisien tapauksessa suoraviivainen, joku kiinnostunut voi tarkastaa kompleksimatriisien osalta.
Kompleksitapauskaan ei tuota suurempia vaikeuksia, sillä
|A B| = |A(I A^TB)| = |A| * |I A^TB| = - |B| * |I A^TB| = - |I A^TB| * |B^T|
= - |B^T A^T| = - |(A B)^T| = - |A B|.