Goldbachin minimit

usssu kirjoitti:

Etsin 4*10^6 saakka Goldbachin minimit, eli paikat 2p, joille saadaan erityisen vähän Goldbachin tapahtumia a1 a2=2p. 2p on minimipaikka, jos kaikilla parillisilla 2p:stä eteenpäin saadaan enemmän Goldbachin tapahtumia kuin paikassa 2p. Todellisia minimeitä niiden ei tarvitse olla, sillä joskus voidaan tulla parilliseen, jonka kohdalla ei saada yhtään tapausta. Mutta 4*10^6 saakka seuraava pitää (toivottavasti) paikkansa.

Kun esittää minimit 2p:n funktiona graafisesti, saa tasaisesti nousevan 'käyrän', joka ei sisällä pitkiä aukkoja eikä suuria hyppäyksiä. 4 milj. mennessä on 1205 minimiä. Viimeinen on 3995804=2*2*998951 ja siinä saadaan 12957 tapausta. Yleensä minimikohdat ovat tyyppiä (2^k)*alkuluku, k=1,2,3,... .Joskus sattuu myös tekijöihinjako (2^k)*alkuluku1*alkuluku2.

Lähtemällä Goldbachin tapausmäärän keskiarvon arviosta tapausmäärän minimiarvolle paikassa 2p tuli arvio K*S(dx/(ln(x)^2)), integroituna 3 -> 2p-3 (S tarkoittaa integraalimerkkiä). Vakio K=0.66016181... , ja se saadaan tulosta ((1*3)/(2*2))*((3*5)/(4*4))*((5*7)/(6*6))*... . Tulo käy läpi kaikki alkuluvut 3:sta lähtien.
Koska alkulukuparien määrän arvio 2p mennessä on 2*K*S(dx/(ln(x)^2)), integroituna 3 -> 2p-3, tarkoittaa tämä sitä, että jokaisessa parillisessa paikassa, 2p, saadaan Goldbachin tapauksia ainakin puolet alkulukuparien määrästä 2p mennessä.
Tein taulukon asian paikkansa pitävyyden tarkistamiseksi:

2p ********* Gbmin(2p) *** a2(2p) ** suhde Gbmin(2p)/a2(2p)
5*10^4 **** 326 ************ 704 ****** 0.4631
10^5 ******* 559 ************ 1216 **** 0.4597
2*10^5 ***** 1024 ********** 2159 **** 0.44743
4*10^5 ***** 1813 ********** 3795 **** 0.4777
8*10^5 ***** 3270 ********** 6747 **** 0.4868
1.6*10^6 *** 5905 ********* 12245 *** 0.4822
3.2*10^6 *** 10698 ******* 22135 *** 0.4833
(Gbmin(2p) tarkoittaa voimassa olevaa (todellista, ei arvioitua) minimiarvoa 2p:n kohdalla, ja a2(2p) alkulukuparien (todellista) määrää 2p mennessä.)

Goldbachin tapahtumakertojen kuvaaja 2p:n funktiona näyttää kaoottiselta. Mutta tapauskertojen minimin (nimittäin integraalin 0.66016181*S(dx/(ln(x)^2)), integroituna 3 -> 2p-3) ja 2p:n tekijöihin jaosta lasketun kertoimen avulla sen pystyy melko hyvin selittämään.
Kerroin lasketaan siten että ensiksi se asetetaan luvuksi 1.0. Kakkonen (tai kakkosen potenssit) tulontekijänä ei aiheuta kertoimeen muutosta. Jokainen 2p:n pariton alkulukutekijä (=a) aiheuttaa kertoimen kertomisen luvulla (a-1)/(a-2). Jos tekijä esiintyy tulossa moninkertaisena, se otetaan huomioon vain kerran.
Menetelmän paikkansapitävyys: Laskin Goldbachin tapahtumakerroille arvion integroimalla ja kertomalla integraali 2p:stä lasketulla tekijällä kolmelle peräkkäiselle parilliselle luvulle (6000200=2*2*2*5*5*19*1579, 6000202=2*13*89*2593, 6000204=2*2*3*7*61*1171) ja vertasin tulosta todelliseen määrään. Goldbachin minimimäärän arvio kohdalla 6000200 (siis integraali kerrottuna luvulla 0.66016181) on 19083. Tämä minimimäärä on vielä kerrottava 2p:stä lasketulla kertoimella. Tuli tulos

2p ********** kerroin *** arvio **** todellinen ** arvio/todellinen
6000200 *** 1.41226 *** 26708 *** 26374 ********* 1.0127
6000202 *** 1.10387 *** 20870 *** 20740 ********* 1.0063
6000204 *** 2.44277 *** 46183 *** 45605 ********* 1.0127

(Esim. luvulle 6000200 laskettu kerroin on (4/3)*(18/17)*(1578/1577). )
Alkulukupareja 6000200 mennessä on 37918.

kirjoitti:

Anonyymi

Kirjoita kommentti

5000

Lähetä