Oletaan äärellinen alue V joka jaetaan 2 eri alueeseen V1 ja V2 . Nyt pinta S erottaa alueet V1 ja V2 toisistaan. Funktio F(r) = a, kun r \in V1 ja F(r) = b, kun r \in V2.
Osaisikohan joku integroida funktion F derivaattaa tilavuuden yli eli
I = int_V dF(r)/dr dV
Ilmeisesti tuon funktion derivaatta on delta funktio pinnalla S, mutta mitähän tuon integraalin arvoksi tulee
deltafunktio
röllipekka
4
305
Vastaukset
- gauss4pi
Onko tuo r siis säde r = sqrt(x^2 y^2 z^2) eli pinta S on pallo? Divergenssilauseesta voisi olla apua:
http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem
Äkkiä ajatellen tulos riiippuu vain siitä ulommasta funktion F arvosta ja jos se ei riipu r:stä niin integraali lienee nolla symmetrian nojalla.- röllipekka
Vähän tarkennusta tehtävään.
r on mielivaltainen paikkavektori, ja a on erisuuri kuin b ja ne ovat molemmat skalaarisia vakioita.
- aavistelua
Eiköhän se ole nolla sen nojalla, että tuon leikkaavan tilavuusmitta on nolla.
Siis sen voi poistaa integraalista sen arvon muuttumatta, ja muullahan tuo derivaatta
on aina nolla?!?- gauss4pi
Deltafunktiot ovat siitä ikäviä, että vaikka ne ovat erisuuria kuin nolla vain nollamittaisessa joukossa, niin integraalit ovat kuitenkin nollasta poikkeavia.
Tuossa voisi miettiä jotain fysikaalista analogiaa:
- Jos F(r) on joku potentiaali, niin silloin dF/dr on vähän niin kuin voimavektori (tai oikeastaan sen vastaluku olisi).
- Voiman integraali taas antaa jonkinlaisen keskimääräisen voiman mikä potentiaalista aiheutuu. Ja se voima on nolla kaikkialla muualla paitsi pinnalla S, jossa se antaa sellaisen b-a kokoisen "impulssin" siitä kohtaa kulkevalle partikkelille S:n normaalin suuntaan.
- Siispä integraalin arvo lienee sama kuin b-a kertaa S:n normaalin integraali integroituna pinnan yli. Sen arvo taas riippuu siitä että onko S suljettu pinta vai ei sekä jos ei ole niin sen muodosta.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Moikka rakas
Oon miettinyt meidän välistä yhteyttä viime aikoina. En ihan osaa pukea sanoiksi, mitä kaikkea tunnen, mutta halusin vaa6517083Mitä tapahtunut
Poliiseja monta autoa+panssariauto Porista kpäähän päin tänään klo n.20 kuka hurjistunut ?414844HS: Kuka vielä uskaltaa mennä sairaalan ensiapuun?
https://www.hs.fi/mielipide/art-2000011212025.html Tässä on hyvin ajankohtainen mielipidekirjoitus koskien Malmin sairaa3002748- 1472041
Ökyrikas Kurkilahti mussuttaa veroistaan
Pakeni aikoinaan veroja Portugaliin mutta joutui palaamaan takaisin kun Suomi teki verotussopimuksen Portugalin kanssa.1321607Yhdysvalloissa työllisyys paranee, Suomessa työttömyys kasvaa, missä vika?
Miten tämä on mahdollista että 177 000 uutta työllistä tuli USAssa yhdessä kuukaudessa, vaikka Trump on ruorissa? Orpon3981534- 171527
Lakea konkurssiin. Asukkaat menettävät asuntonsa
Kuntarahoitus on tänään jättänyt konkurssihakemuksen lakean kaikista kiinteistö osakeyhtiöistä. Kassa on tyhjä, kaikki231418Jos tämän vaan sulkee ja avaa 5 vuoden päästä
Täällä on luultavasti edelleen näitä ihan samoja juttuja. On kuin kauniit ja rohkeat samat jutut junnaa. Heips. 👋🏻 E101303mahdollista, että olet ollut iltavuorossa
Ja kotiin päästyäsi tulit palstalle etsimään merkkiä minusta, jos kaipaat yhtään minua niin kuin minä sinua Ei mennyt k111233