Oletaan äärellinen alue V joka jaetaan 2 eri alueeseen V1 ja V2 . Nyt pinta S erottaa alueet V1 ja V2 toisistaan. Funktio F(r) = a, kun r \in V1 ja F(r) = b, kun r \in V2.
Osaisikohan joku integroida funktion F derivaattaa tilavuuden yli eli
I = int_V dF(r)/dr dV
Ilmeisesti tuon funktion derivaatta on delta funktio pinnalla S, mutta mitähän tuon integraalin arvoksi tulee
Osaisikohan joku integroida funktion F derivaattaa tilavuuden yli eli
I = int_V dF(r)/dr dV
Ilmeisesti tuon funktion derivaatta on delta funktio pinnalla S, mutta mitähän tuon integraalin arvoksi tulee
Vastaukset 4
Vanhimmat
Onko tuo r siis säde r = sqrt(x^2 y^2 z^2) eli pinta S on pallo? Divergenssilauseesta voisi olla apua:
http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem
Äkkiä ajatellen tulos riiippuu vain siitä ulommasta funktion F arvosta ja jos se ei riipu r:stä niin integraali lienee nolla symmetrian nojalla.
Vähän tarkennusta tehtävään.
r on mielivaltainen paikkavektori, ja a on erisuuri kuin b ja ne ovat molemmat skalaarisia vakioita.
Eiköhän se ole nolla sen nojalla, että tuon leikkaavan tilavuusmitta on nolla.
Siis sen voi poistaa integraalista sen arvon muuttumatta, ja muullahan tuo derivaatta
on aina nolla?!?
Deltafunktiot ovat siitä ikäviä, että vaikka ne ovat erisuuria kuin nolla vain nollamittaisessa joukossa, niin integraalit ovat kuitenkin nollasta poikkeavia.
Tuossa voisi miettiä jotain fysikaalista analogiaa:
- Jos F(r) on joku potentiaali, niin silloin dF/dr on vähän niin kuin voimavektori (tai oikeastaan sen vastaluku olisi).
- Voiman integraali taas antaa jonkinlaisen keskimääräisen voiman mikä potentiaalista aiheutuu. Ja se voima on nolla kaikkialla muualla paitsi pinnalla S, jossa se antaa sellaisen b-a kokoisen "impulssin" siitä kohtaa kulkevalle partikkelille S:n normaalin suuntaan.
- Siispä integraalin arvo lienee sama kuin b-a kertaa S:n normaalin integraali integroituna pinnan yli. Sen arvo taas riippuu siitä että onko S suljettu pinta vai ei sekä jos ei ole niin sen muodosta.