Divergenssin divergenssi

No niinpä toden totta onkin.

Nyt kun vielä saisi siitä tuon oikean tuloksen.

Poissonin yhtälöä eli nabla^2 V = 4(pi)G(rhoo) olen johtamassa Newtonin gravitaatiopotentiaalista.

Se etenee seuraavasti: nabla^2 V = -GM(nabla^2)(1/r) = 3GM/r^3 = 4(pi)G(rhoo).

Ongelma on vaihe -GM(nabla^2)(1/r) = 3GM/r^3, sillä siitä seuraa (nabla^2)(1/r) = -3/r^3, mikä on alkuperäinen kysymys.

(ja korjaus alkuperäiseen viestiin: pitäisi siis saada nimenomaan -3/r^3 eikä -3/r).

Pöhökö kirjoitti:

Poissonin yhtälöä eli nabla^2 V = 4(pi)G(rhoo) olen johtamassa Newtonin gravitaatiopotentiaalista.

Se etenee seuraavasti: nabla^2 V = -GM(nabla^2)(1/r) = 3GM/r^3 = 4(pi)G(rhoo).

Ongelma on vaihe -GM(nabla^2)(1/r) = 3GM/r^3, sillä siitä seuraa (nabla^2)(1/r) = -3/r^3, mikä on alkuperäinen kysymys.

(ja korjaus alkuperäiseen viestiin: pitäisi siis saada nimenomaan -3/r^3 eikä -3/r).

Lue lisää

Siis nabla^2 (1/r) ei ole -3/r^3 vaan -4pi delta(r). Jos merkitään x = (x1,x2,x3) ja r = |x|, tällöin siis toki triviaalisti yhtälön

nabla^2 phi(x) = delta(x) / e0

ratkaisu on Coulombin potentiaali phi(r) = 1/(4pi)/e0/|x| ja yhtälön

nabla^2 phi(x) = 4pi G delta(x)

ratkaisu on gravitaatiopotentiaali phi(x) = G delta(r) / |x|. Näiden superpositiona tulee sitten Gaussin muotoiset yhtälöt

nabla^2 phi(x) = vakio roo(x)

Tuon termin -3/r^3 yhteyttä tähän en kyllä ihan heti hahmota. Tai siis en tiedä mistä se tulee. Toki termin 1/r gradientti on -x/|x|, mutta sen divergenssi on nimenomaan tuo delta-funktio.

dx kirjoitti:

Siis nabla^2 (1/r) ei ole -3/r^3 vaan -4pi delta(r). Jos merkitään x = (x1,x2,x3) ja r = |x|, tällöin siis toki triviaalisti yhtälön

nabla^2 phi(x) = delta(x) / e0

ratkaisu on Coulombin potentiaali phi(r) = 1/(4pi)/e0/|x| ja yhtälön

nabla^2 phi(x) = 4pi G delta(x)

ratkaisu on gravitaatiopotentiaali phi(x) = G delta(r) / |x|. Näiden superpositiona tulee sitten Gaussin muotoiset yhtälöt

nabla^2 phi(x) = vakio roo(x)

Tuon termin -3/r^3 yhteyttä tähän en kyllä ihan heti hahmota. Tai siis en tiedä mistä se tulee. Toki termin 1/r gradientti on -x/|x|, mutta sen divergenssi on nimenomaan tuo delta-funktio.

Lue lisää

Valitettavasti en pysy tekstissäsi perässä, mikä johtunee omasta perehtymättömyydestäni alaan. Mielestäni 1/r:n gradientti ei ole -x/r, kun x = (x1,x2,x3), vaan -x/r^3 (tämä lukee myös prujussani). Ehkä missaan jotain.

Lopulta tässä ei mielestäni ole kyse mistään vaikeammasta asiasta kuin määrittää 1/r:n kaikki toiset osittaisderivaatat ja laskea ne yhteen, kun r = sqrt(x^2 y^2 z^2). Vastaus pitäisi olla -3/r^3. Aika peruskauraa siis, mutta en syystä tai toisesta saa oikeaa vastausta, vaan nollan. Uskon syyn olevan jossain kohtaa toistuva pieni laskuvirhe (esim. merkkivirhe), jota en vaan ole onnistunut löytämään.

Pöhökö kirjoitti:

Valitettavasti en pysy tekstissäsi perässä, mikä johtunee omasta perehtymättömyydestäni alaan. Mielestäni 1/r:n gradientti ei ole -x/r, kun x = (x1,x2,x3), vaan -x/r^3 (tämä lukee myös prujussani). Ehkä missaan jotain.

Lopulta tässä ei mielestäni ole kyse mistään vaikeammasta asiasta kuin määrittää 1/r:n kaikki toiset osittaisderivaatat ja laskea ne yhteen, kun r = sqrt(x^2 y^2 z^2). Vastaus pitäisi olla -3/r^3. Aika peruskauraa siis, mutta en syystä tai toisesta saa oikeaa vastausta, vaan nollan. Uskon syyn olevan jossain kohtaa toistuva pieni laskuvirhe (esim. merkkivirhe), jota en vaan ole onnistunut löytämään.

Lue lisää

Juu sori olin huolimaton, 1/r:n gradientti on -x/r^3. Alan nyt kyllästyä väittelemään, mutta siis nabla^2 (1/r) = 0, aina kun r != 0 eli laskit ihan oikein:

d/dx1[-x1 (x1^2 x2^2 x3^2)^(-3/2)]
= -(x1^2 x2^2 x3^2)^(-3/2) 3 x1^2 (x1^2 x2^2 x3^2)^(-5/2)

jolloin

d/dx1 d/dx2 d/dx3 = 0

Mutta juju onkin, että origossa tämä ei päde, vaan siellä on -4pi kertaa delta-funktio. Muistaakseni ainakin kirjassa "Griffiths: Introduction to Electrodynamics" tämä on selostettu aika rautalankamenetelmällä.

Uskotaan, että se on nolla muualla kuin origossa. Mistä sitten tarkalleen ottaen seuraa, että se ei ole nolla origossakin?

Tämä tehtävä on ollut yliopistossa ensimmäisen vuosikurssin laskuharjoituksessa, ja siksi luulisi, ettei ratkaisu voi vaatia kovin kummoista tuntemusta alasta. Esimerkiksi ketjussa viljellyt "Direcin delta-funktio" ja "radiaalivektori" eivät sano minulle mitään, eikä tällaisia termejä mielestäni esiinny prujussa.

Voihan kyseessä tietysti olla jokin tarkoituksella vaativampi tehtävä. Itse kuvittelin aluksi, että pitää vain saada nabla^2(1/r) = -3/r^3 pärjäämällä yksinkertaisesti sillä, että tietää mikä on gradientti ja divergenssi. Jos ratkaisu on pitkä ja vaatii korkeampaa matematiikkaa, niin ei tarvitse, mutta mielelläni haluaisin tietää mihin homma perustuu. Kiitos vastauksista.

Pöhökö kirjoitti:

Uskotaan, että se on nolla muualla kuin origossa. Mistä sitten tarkalleen ottaen seuraa, että se ei ole nolla origossakin?

Tämä tehtävä on ollut yliopistossa ensimmäisen vuosikurssin laskuharjoituksessa, ja siksi luulisi, ettei ratkaisu voi vaatia kovin kummoista tuntemusta alasta. Esimerkiksi ketjussa viljellyt "Direcin delta-funktio" ja "radiaalivektori" eivät sano minulle mitään, eikä tällaisia termejä mielestäni esiinny prujussa.

Voihan kyseessä tietysti olla jokin tarkoituksella vaativampi tehtävä. Itse kuvittelin aluksi, että pitää vain saada nabla^2(1/r) = -3/r^3 pärjäämällä yksinkertaisesti sillä, että tietää mikä on gradientti ja divergenssi. Jos ratkaisu on pitkä ja vaatii korkeampaa matematiikkaa, niin ei tarvitse, mutta mielelläni haluaisin tietää mihin homma perustuu. Kiitos vastauksista.

Lue lisää

Kyllä elektromagnetismin perusteet, mihin kuuluu muun muassa Coulombin laki samoin kuin Diracin deltat ja muut, ovat ihan ensimmäisellä vuosikurssilla yliopistossa käsiteltävää asiaa. Matemattisesti eksaktin todistuksen tekeminen vaatii ehkä korkeampaa matematiikkaa, mutta sellainen ei-niin-eksakti löytyy kyllä oppikirjoista. Ja kuten aihemmin sanoin, tämäntyyppinen johto löytyy myös tuolta:

http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html

Pöhökö kirjoitti:

Uskotaan, että se on nolla muualla kuin origossa. Mistä sitten tarkalleen ottaen seuraa, että se ei ole nolla origossakin?

Tämä tehtävä on ollut yliopistossa ensimmäisen vuosikurssin laskuharjoituksessa, ja siksi luulisi, ettei ratkaisu voi vaatia kovin kummoista tuntemusta alasta. Esimerkiksi ketjussa viljellyt "Direcin delta-funktio" ja "radiaalivektori" eivät sano minulle mitään, eikä tällaisia termejä mielestäni esiinny prujussa.

Voihan kyseessä tietysti olla jokin tarkoituksella vaativampi tehtävä. Itse kuvittelin aluksi, että pitää vain saada nabla^2(1/r) = -3/r^3 pärjäämällä yksinkertaisesti sillä, että tietää mikä on gradientti ja divergenssi. Jos ratkaisu on pitkä ja vaatii korkeampaa matematiikkaa, niin ei tarvitse, mutta mielelläni haluaisin tietää mihin homma perustuu. Kiitos vastauksista.

Lue lisää

Ongelma on tosiaan siinä että sulla on potentiaalifunktio jonka synnyttää pistemäinen hiukkanen, siis massatiheys joka on matemaattisesti vähän tylyn näkönen. Sen arvo on ääretön pisteessä r = 0 ja nolla kaikkialla muualla. Sitä on tapana kuvata tuommoisen deltafunktion avulla (johon tulet muuten törmäämään jatkossakin) jolla on juuri nuo edellä mainitut ominaisuudet ja lisäksi integraali sen yli on 1.

Tämän voi kyllä ratkaista helpomminkin käyttämällä Gaussin teoreemaa. Sillon siis lähtökohta olisi että integroit tuon gradientin divergenssin a-säteisen origokeskeisen pallon yli ja käytät Gaussin teoreemaa. Sitten vaan lasket integraalin pallon pinnan yli ja siitä pitäisi tulla sama vastaus. Tuo voisi olla enemmän ensimmäisen vuosikurssin tasoa, mutta mun mielestä Greenin funktion käyttö on helpompaa.