Laskettava 1/r:n divergenssin divergenssi (nabla toiseen), kun r = sqrt(x^2 y^2 z^2). Vastaus pitäisi kai olla -3/r, mutta saan itse nollan. Löytyykö apuja?
Divergenssin divergenssi
Pöhökö
11543
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Nabla toiseen taitaa olla gradientin divergenssi
No niinpä toden totta onkin.
Nyt kun vielä saisi siitä tuon oikean tuloksen.
Eikös tuon Laplace-operaattorin (nabla toiseen) Greenin funktio ole -1/(4pi)/r, eli toisin sanoen vastaus on -4pi kertaa Direcin delta-funktio? Onhan se toki nolla kaikkialla paitsi origossa. Jostain sähkötekniikan oppikirjasta voisi löytyä apuja. Tai sitten tuolta:
http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
Poissonin yhtälöä eli nabla^2 V = 4(pi)G(rhoo) olen johtamassa Newtonin gravitaatiopotentiaalista.
Se etenee seuraavasti: nabla^2 V = -GM(nabla^2)(1/r) = 3GM/r^3 = 4(pi)G(rhoo).
Ongelma on vaihe -GM(nabla^2)(1/r) = 3GM/r^3, sillä siitä seuraa (nabla^2)(1/r) = -3/r^3, mikä on alkuperäinen kysymys.
(ja korjaus alkuperäiseen viestiin: pitäisi siis saada nimenomaan -3/r^3 eikä -3/r).
Siis nabla^2 (1/r) ei ole -3/r^3 vaan -4pi delta(r). Jos merkitään x = (x1,x2,x3) ja r = |x|, tällöin siis toki triviaalisti yhtälön
nabla^2 phi(x) = delta(x) / e0
ratkaisu on Coulombin potentiaali phi(r) = 1/(4pi)/e0/|x| ja yhtälön
nabla^2 phi(x) = 4pi G delta(x)
ratkaisu on gravitaatiopotentiaali phi(x) = G delta(r) / |x|. Näiden superpositiona tulee sitten Gaussin muotoiset yhtälöt
nabla^2 phi(x) = vakio roo(x)
Tuon termin -3/r^3 yhteyttä tähän en kyllä ihan heti hahmota. Tai siis en tiedä mistä se tulee. Toki termin 1/r gradientti on -x/|x|, mutta sen divergenssi on nimenomaan tuo delta-funktio.
Valitettavasti en pysy tekstissäsi perässä, mikä johtunee omasta perehtymättömyydestäni alaan. Mielestäni 1/r:n gradientti ei ole -x/r, kun x = (x1,x2,x3), vaan -x/r^3 (tämä lukee myös prujussani). Ehkä missaan jotain.
Lopulta tässä ei mielestäni ole kyse mistään vaikeammasta asiasta kuin määrittää 1/r:n kaikki toiset osittaisderivaatat ja laskea ne yhteen, kun r = sqrt(x^2 y^2 z^2). Vastaus pitäisi olla -3/r^3. Aika peruskauraa siis, mutta en syystä tai toisesta saa oikeaa vastausta, vaan nollan. Uskon syyn olevan jossain kohtaa toistuva pieni laskuvirhe (esim. merkkivirhe), jota en vaan ole onnistunut löytämään.
Juu sori olin huolimaton, 1/r:n gradientti on -x/r^3. Alan nyt kyllästyä väittelemään, mutta siis nabla^2 (1/r) = 0, aina kun r != 0 eli laskit ihan oikein:
d/dx1[-x1 (x1^2 x2^2 x3^2)^(-3/2)]
= -(x1^2 x2^2 x3^2)^(-3/2) 3 x1^2 (x1^2 x2^2 x3^2)^(-5/2)
jolloin
d/dx1 d/dx2 d/dx3 = 0
Mutta juju onkin, että origossa tämä ei päde, vaan siellä on -4pi kertaa delta-funktio. Muistaakseni ainakin kirjassa "Griffiths: Introduction to Electrodynamics" tämä on selostettu aika rautalankamenetelmällä.
Tosiaan niinkun on moneen kertaan sanottu, nabla^2(1/r) = 0. Sen näkee ehkä helpoimmin ottamalla ensin gradientti tuosta kentästä ja toteamalla että se on aina radiaalivektorin suuntainen joten divergenssin täytyy olla nolla muualla kuin origossa.
Oikea ratkaisu taidettiinkin jo kertaalleen antaa, eli yhdelle M-massaiselle origossa sijaitsevalle pistemäiselle hiukkaselle se on
nabla^2(-GM/r) = 4 pi GM delta^3(r)
Tästä voipi sitten etsiä kyseisen tilanteen massatiheysfunktion ja yleistää N:nään hiukkaseen.
Uskotaan, että se on nolla muualla kuin origossa. Mistä sitten tarkalleen ottaen seuraa, että se ei ole nolla origossakin?
Tämä tehtävä on ollut yliopistossa ensimmäisen vuosikurssin laskuharjoituksessa, ja siksi luulisi, ettei ratkaisu voi vaatia kovin kummoista tuntemusta alasta. Esimerkiksi ketjussa viljellyt "Direcin delta-funktio" ja "radiaalivektori" eivät sano minulle mitään, eikä tällaisia termejä mielestäni esiinny prujussa.
Voihan kyseessä tietysti olla jokin tarkoituksella vaativampi tehtävä. Itse kuvittelin aluksi, että pitää vain saada nabla^2(1/r) = -3/r^3 pärjäämällä yksinkertaisesti sillä, että tietää mikä on gradientti ja divergenssi. Jos ratkaisu on pitkä ja vaatii korkeampaa matematiikkaa, niin ei tarvitse, mutta mielelläni haluaisin tietää mihin homma perustuu. Kiitos vastauksista.
Kyllä elektromagnetismin perusteet, mihin kuuluu muun muassa Coulombin laki samoin kuin Diracin deltat ja muut, ovat ihan ensimmäisellä vuosikurssilla yliopistossa käsiteltävää asiaa. Matemattisesti eksaktin todistuksen tekeminen vaatii ehkä korkeampaa matematiikkaa, mutta sellainen ei-niin-eksakti löytyy kyllä oppikirjoista. Ja kuten aihemmin sanoin, tämäntyyppinen johto löytyy myös tuolta:
http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
Ongelma on tosiaan siinä että sulla on potentiaalifunktio jonka synnyttää pistemäinen hiukkanen, siis massatiheys joka on matemaattisesti vähän tylyn näkönen. Sen arvo on ääretön pisteessä r = 0 ja nolla kaikkialla muualla. Sitä on tapana kuvata tuommoisen deltafunktion avulla (johon tulet muuten törmäämään jatkossakin) jolla on juuri nuo edellä mainitut ominaisuudet ja lisäksi integraali sen yli on 1.
Tämän voi kyllä ratkaista helpomminkin käyttämällä Gaussin teoreemaa. Sillon siis lähtökohta olisi että integroit tuon gradientin divergenssin a-säteisen origokeskeisen pallon yli ja käytät Gaussin teoreemaa. Sitten vaan lasket integraalin pallon pinnan yli ja siitä pitäisi tulla sama vastaus. Tuo voisi olla enemmän ensimmäisen vuosikurssin tasoa, mutta mun mielestä Greenin funktion käyttö on helpompaa.