Tehtävänä olisi etsiä yhtälön a^3-b^3 = 2009 kaikki mahdolliset positiiviset kokonaislukuratkaisut a ja b.
Miten tehtävä helpoimmin onnistuu?
Miten tehtävä helpoimmin onnistuu?
Miten ratkaistaan
lukuteorian tehtävä?
5221
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Jaa molemmat puolet tekijöihinsä ja muodosta yhtälöpareja.
tapa ratkaista tätä tehtävää.
Tuolla tavallahan joudutaan ratkomaan kuusi kpl toisen asteen yhtälöitä.
Muuta alkeellista tapaa en keksi. Yhden toisen asteen yhtälön ratkaisee helposti, joten miksi ei samantien kuutta?
Kolmannen asteen Diofanteen yhtälöt ovat yleensä haastavia ja niihin käytetään yleensä korkeampaa matikkaa. Tässä voidaan kuitenkin päätellä ratkaisu alkeellisemminkin, kuten yllä nähtiin. Eräs tapa on huomata, että on oltava a>b, eli a=b k jollain positiivisella kokonaisluvulla k. Siten (b k)^3-b^3 = 2009 eli k(3b^2 3bk k^2)=2009. Nyt luvulla 2009 on siedettävän siisti alkulukutekijähajotelma 7^2*41, joten tarkasteltavia tapauksia on melko vähän. Edes toisen asteen ratkaisukaavaa ei tarvita, sillä jos vaikka k=41, niin 3b^2 123b=-1632, josta selvitään rationaalijuuritestillä. Eri tapauksia siinä kyllä joudutaan käsittelemään.
Todetaan aluksi, että
(a-b)^3
= a^3-3a^2 3ab^2-b^3
= a^3-b^3-3ab(a-b)
< a^3-b^3 = 2009
=> a-b < 2009^(1/3)
Koska a-b on (positiivinen) kokonaisluku, on a-b välttämättä pienempi tai yhtäsuuri kuin 12.
Toisaalta
a^3-b^3 = 2009
(a-b)(a^2 ab b^2) = 2009
=> (a-b)|2009
Nyt 2009 = 7^2*41
=> a-b = 1 tai a-b = 7
1) Olkoon a-b = 1 ts. a=b 1
a^2 ab b^2=2009/1
(b 1)^2 (b 1)b b^2 = 2009
b^2 2b 1 b^2 b b^2 = 2009
3b^2 3b 1 = 2009
3b(b 1) = 2008
=> 3|2008.
Tämä on ristiriita.
2) Olkoon a-b = 7 ts. a=b 7
a^2 ab b^2=2009/7
(b 7)^2 (b 7)b b^2 = 287
b^2 14b 49 b^2 7b b^2 = 287
3b^2 21b 49 = 287
3b(b 7) = 238
=> 3|238.
Tämä on ristiriita.
Yhteenvetona todetaan, että yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Yhtään toisen asteen yhtälöä ei siis tarvitse ratkaista.