Miten todistetaan, että aaltoyhtälön ratkaisulle u = 1/2( u0(x t) u0(x-t) ) saadaan seuraava raja-arvo:
\lim_{t \to \infty} = tu(xt, t) = 1/2 u_0 (\delta_1 \delta_{-1})
distribuutiomielessä?? Lähteenä seuraavan paperin 1. kappale:
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0510/0510206v1.pdf
Ei aukea niin millään...
\lim_{t \to \infty} = tu(xt, t) = 1/2 u_0 (\delta_1 \delta_{-1})
distribuutiomielessä?? Lähteenä seuraavan paperin 1. kappale:
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0510/0510206v1.pdf
Ei aukea niin millään...
Vastaukset 5
Vanhimmat
Come on, matemaatikot! Eikö teitä pitäisi pyöriä täällä pilvin pimein. :D Kohta täytyy lampsia Berkeleyn matikkapalstalle, mikä olisi aika traagista kun meitä on kuitenkin täälläkin vaikka millä mitalla. ;)
Aaltoyhtälön ratkaisuhan voidaan kirjoittaa tässä tapauksessa myös
u(x,t) = 1/2 [ (f \ast delta_{ct} ) (x) (f \ast delta_{-ct} ) (x ]
missä \ast on konvoluutio. Pääsisikö tästä jotenkin eteenpäin...? Ei tämän pitäisi olla mikään mahdoton tehtävä, mutta itseltä on ideat lopussa. Mitään oivalluksia/ajatuksia/näkökulmia??
En ole varsinaisesti matemaatikko, mutta koitetaan silti osittain insinööri-intuitiolla. Pitäisi siis osoittaa, että kun t-->oo, niin millä tahansa testifunktiolla phi(x) pätee
--> U0 (phi(-1) phi(1))
jossa
= int phi(x) theta(x) dx
Koitetaan laskea ensimmäistä termiä:
int t/2 u(xt t) phi(x) dx = int 1/2 u(y) phi(y/t-1) dy
Nyt kun t-->oo jää jälkimmäisestä termistä vain jäljelle phi(-1), jolloin
= int 1/2 u(y) phi(-1) dy = U0/2 phi(-1)
Kun lasketaan jälkimmäinen vastaavasti, saadaan se todistettava tulos. MOT.
Se, että raja-arvo voidaan ottaa integraalimerkin alla pitäisi vielä perustella matemaattisesti, mutta sen kriteereitä en kyllä muista ollenkaan.
Sisätulon merkit katosivat xml-taivaaseen, mutta katsotaan onnistuisiko näin. Pitäisi siis osoittaa, että kun t-->oo, niin millä tahansa testifunktiolla phi(x) pätee
int t/2 (u0(xt t) u0(xt-t)) phi(x) --> U0 (phi(-1) phi(1))
Koitetaan laskea ensimmistä termiä:
int t/2 u(xt t) phi(x) dx = int 1/2 u(y) phi(y/t-1) dy
Nyt kun t-->oo jää jälkimmäisestä termistä vain jäljelle phi(-1), jolloin
= int 1/2 u(y) phi(-1) dy = U0/2 phi(-1)
Kun lasketaan jälkimmäinen vastaavasti, saadaan se todistettava tulos. MOT.
Jei!! Näinhän tämä tosiaan menee! insinööriähän tässä selvästi tarvittiinkin... sorge vaan matemaatikot. :D
Raja-arvon viemistä integraalin sisään ei edes tarvinne perustella. Kun kerran halutaan näyttää että
f(x) = lim_{t \to \infty} tu(xt,t) on jotain distribuutiomielessä, niin silloinhan raja-arvokin on automaattisesti integraalin sisällä. Eli näytetään, että millä tahansa testifunktiolla
int f(x) phi(x) dx = U0 (phi(-1) phi(1))
Kiitos paljon dx!!!! :)
Kaikki insinöörithän nyt distribuutioiden teorian tuntee. :) No juu, ehkä se (d-)insinöörintutkinto minullakin on vaan se perustutkinto...