Minä nyt kuitenkin ihmettelen. Jos tämä aiheuttaa jollekulle hengenahdistusta tai otsasuonten pullistumista puhkeamisen rajoille, taikka vihanneksia hengitystiehyeissä, niin pahoittelen vilpittömästi.
Lukusuora ja rationaaliluvut. Rationaalilukujahan on ihan sikana, kaikkia niitä ei pysty esittämään erillisillä pisteillä lukusuoralla vaikka sen suurentaisi miten isoksi. Ja kuitenkin siellä rationaalilukujen välissä täytyy olla aukkoja, sellaisia pisteitä joihin ei sovi mikään rationaaliluku! Nimittäin on olemassa sellaisia reaalilukuja jotka eivät ole rationaalilukuja. Ja niitäkin on ihan sairaasti.
Ihme ja kumma! Tätä en koskaan lakkaa ihmettelemästä!
Lukusuora ja rationaaliluvut. Rationaalilukujahan on ihan sikana, kaikkia niitä ei pysty esittämään erillisillä pisteillä lukusuoralla vaikka sen suurentaisi miten isoksi. Ja kuitenkin siellä rationaalilukujen välissä täytyy olla aukkoja, sellaisia pisteitä joihin ei sovi mikään rationaaliluku! Nimittäin on olemassa sellaisia reaalilukuja jotka eivät ole rationaalilukuja. Ja niitäkin on ihan sairaasti.
Ihme ja kumma! Tätä en koskaan lakkaa ihmettelemästä!
Vastaukset 8
Vanhimmat
Juu, saa sitä ihmetellä. On se tosiaan aika ihmeellistä.
Niitä rationaalilukuja on siinä lukusuoralla itse asiassa aika harvakseltaan. Irrationaalilukuja on paljon paljon enemmän. Voisi sanoa, että jokaista rationaalilukua kohden löytyy ääretön määrä irrationaalilukuja.
Kuitenkin minkä tahansa kahden rattionaaliluvun välissä on ääretön määrä rationaalilukuja.
Niinkö? Mielestäni lukujen 1 ja 1 välissä on vain 1 rationaaliluku: 1.
No tietysti kahden erisuuren...
Irrationaaliluvut määritellään matemaattisesti Dedekindin leikkauksien avulla rationaaliluvuista lähtien suurin piirtein seuraavasti:
Olkoon luku x (rationaalinen tai irrationaalinen).
Rationaalilukujen joukko A koostuu luvuista, jotka ovat < x.
Rationaalilukujen joukko B koostuu luvuista, jotka ovat >= x.
Luku x on nyt yksinkertaisesti yhdelmä (A,B) joukoista A ja B. Määrittelemällä yhdelmille (A,B) laskulait sopivasti rationaalilukujen laskutoimituksia soveltamalla todistetaan, että näin määritellyt otukset toteuttavat samanlaiset laskusäännöt kuin on voimassa rationaalilukujen kunnassa.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut#Handling_Dedekind_cuts
Irrationaaliluvut voidaan myös ajatella äärettömän monella desimaalilla esitetyiksi luvuiksi. Rationaaliluvuilla desimaalikehitelmä on aina jaksollinen, jolloin siis samat numerosarja toistuu jatkuvasti tietystä kohdasta lähtien. Esimerkiksi 1/13 = 0,07692307692307692307692307692307.... Sen sijaan irrationaaliluvuilla ei ole jaksollista desimaaliesitystä, vaan vastaan tulee ääretön määrä satunnaisilta näyttäviä numeroita.
Esimerkiksi 2:n nelijuuren likiarvo on 1,414213562373095048801688724209. Näin tulee myös ymmärrettävksi se, että kahden rationaaliluvun välissä on suunnattomasti enemmän irrationaalilukuja kuin rationaalilukuja (joita niitäkin on numeroituvasti ääretön määrä).
Eriäviä mielipiteitökin esiintyy:
http://www.amigazone.fi/saku/33/osastot/sekalaiset/cantor.html
Et kai sinä ajattele, että luvut ovat olemassa fyysisinä olentoina.