jäi nyt vaivaamaan kun en löytänyt pikaisesti järkevää vastausta.
Onko paralleliaksiooman sisältö se, että kaksi yhdensuuntaista suoraa ei leikkaa?
jos näin on, niin miten se on todistettu virheelliseksi? eikö tämä lähinnä ole osa suoran absoluuttisen suoran määritelmää?
Onko paralleliaksiooman sisältö se, että kaksi yhdensuuntaista suoraa ei leikkaa?
jos näin on, niin miten se on todistettu virheelliseksi? eikö tämä lähinnä ole osa suoran absoluuttisen suoran määritelmää?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Taitaa olla pikemminkin niin, että paralleeliaksiooman viesti on tämä: Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos niiden projektiot eivät leikkaa missään tasossa.
Aksioomien, eli perusolettamusten juju on siinä, että ne oletetaan tosiksi. Niitä ei siis tarvitse todistella oikeiksi eikä vääriksi (ellei aio pistää matematiikkaa isompaan remonttiin).
mutta eikö eukleidisen ja epäeukleidisen geometrian ero pohjaudu nimenomaan siihen, että jälkimmäisessä ei paralleeliaksiooma ole voimassa? jostain olen myös lukenut että kyseinen aksiooma on vaivannut matemaatikkoja vuosisatoja ja että sitä ei ole voitu osoittaa todeksi?
siis mitenniin suorien projektiot? selitäppä tyhmälle :)
Paralleeliaksiooman totuudellisuus vaivasi matemaatikkoja vuosisatoja, kunnes 1800-luvulla keksittiin moderni matematiikkakäsitys. Sen mukaan aksioomien ei tarvitse mitenkään "vastata luonnollista todellisuutta", vaan ne ovat ihmisten tekemiä sopimuksia, joille riittää keskinäinen ristiriidattomuus, ja muusta "totuusarvosta" puhuminen on aksioomien kohdalla yksinkertaisesti epämielekästä. Tässä on "intuitiota vastaamattoman" epäeuklidisen geometrian matematiikanhistoriallinen merkitys.
(Lisäksi vuosisatoja ounasteltiin, että paralleeliaksiooma saattaisi seurata muista euklidisen geometrian aksioomista, jolloin se olisi nykykäsityksenkin mukaan aivan turha. Modernin matematiikkakäsityksen pohjalta on erittäin helppo osoittaa, ettei näin ole, vaan paralleeliaksiooma on muista riippumaton. Siihen riittää konstruoida äärellinen, muistaakseni kolme pistettä käsittävä geometria, jossa pätevät muut euklidiset aksioomat, mutta ei paralleeliaksiooma. )
"Onko paralleliaksiooman sisältö se, että kaksi yhdensuuntaista suoraa ei leikkaa?"
Ei. Paralleeliaksiooman sisältö on tämä:
Ota suora. Ota piste tuon suoran ulkopuolelta. Tämän pisteen kautta kulkee tasan yksi alkuperäisen suoran kanssa yhdensuuntainen (=paralleeli) suora.
Koulusta tutussa geometriassa paralleeliaksiooma tietenkin oletetaan, koska sitä tarvitaan. Jutun juju on siinä, että paralleeliaksiooma (tai sen negaatio) ei ole todistettavissa muista geometrian aksioomista lähtien, vaikka pitkään luultiin toisin olevan.
Näinollen paralleeliaksiooma on ikään kuin geometrian irrallinen lisäpalikka. Se voidaan olettaa päteväksi tai pätemättömäksi ilman muiden aksioomien häiriintymistä. Voidaan siis luoda esimerkiksi geometria, jossa suoran ulkopuolisen pisteen kautta ei kulje yhtään alkuperäisen suoran kanssa samansuuntaista suoraa.