1) perustele oikeaksi kantaluvun vaihtosääntö: log b X = log a X / log a b.
(eli eka b ja a:t ovat alaindeksejä, en osannut semmosia tähän tehdä.. )
2) Ruumis löydettiin klo: 12.30 ja sen lämpötila oli silloin 31,3 C. Kello 15.20 ruumiin lämpötila oli 26,7 C. Huoneen lämpötila oli koko ajan 21,5 C. Milloin murha tapahtui? (Fysiikan lakien mukaan kappaleen lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan T_ välinen ero T - T_ tasoittuu eksponentiaalisesti ajan suhteen)
3. a) | log x 5 | < 2 (se x on sitten alaindeksinä tuolla)
b) log 0,5 ( x 2 ) = > 2 (0,5 alaindeksinä ja => tarkoittaa suurempi tai yhtäsuuri kuin 2)
4. a) cos x - sin x = 1
b) ( cos x ) * 2 - ( sin x ) * 2 = 1
c) ( cos x ) * n - ( sin x ) * n = 1, kun n on parillinen
(eli eka b ja a:t ovat alaindeksejä, en osannut semmosia tähän tehdä.. )
2) Ruumis löydettiin klo: 12.30 ja sen lämpötila oli silloin 31,3 C. Kello 15.20 ruumiin lämpötila oli 26,7 C. Huoneen lämpötila oli koko ajan 21,5 C. Milloin murha tapahtui? (Fysiikan lakien mukaan kappaleen lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan T_ välinen ero T - T_ tasoittuu eksponentiaalisesti ajan suhteen)
3. a) | log x 5 | < 2 (se x on sitten alaindeksinä tuolla)
b) log 0,5 ( x 2 ) = > 2 (0,5 alaindeksinä ja => tarkoittaa suurempi tai yhtäsuuri kuin 2)
4. a) cos x - sin x = 1
b) ( cos x ) * 2 - ( sin x ) * 2 = 1
c) ( cos x ) * n - ( sin x ) * n = 1, kun n on parillinen
Vastaukset 11
Vanhimmat
muita edes rääpimään, mutta kun olen intohimoinen dekkareiden lukija , niin tuo murhan tapahtuma-aika kiinnostaa.
Tässä varmaan, tai minä ainakin lasken tätä Newtonin jäähtymislain avulla, joka sanoo:
T-Ty=(To-Ty)*e^(-at), jossa T on ruumiin lämpötila, Ty on ympäristön lämpötila, To on ruumiin lämpötila hetkellä t=0, joka =37, ja a on vakio.
Kolme yhtälöä saadaan:
31,3-21,5=(37-21,5)e^(-at1)
26,7-21,5=(37-21,5)e^(-at2)
t2-t1=10200 s
Noista tulee a:lle arvo 6,213*10^5, ja t1:lle 7379 s. ja se kun pakitetaan kellon ajasta 12.30, tulee 10.27
ekaa voi pyöritellä näin: LOGbX=LOGaX/LOGaB=>LOGbX*LOGaB=LOGaX=>LOGaB^(LOGbX)=LOGaX, eli
B^(LOGbX)=X. Tämä pitää paikkansa, sen voi todeta ottamalla LOGb puolittain. LOGbX*LOGbB=LOGbX=>LOGbX=LOGbX.
Muita kun katselee, alkaa päätä särkeen....
Toi kolmas voidaan muuttaa tommoseksi: |lg5/lgx|sqrt5 (x oltava positiivinen)
Sitten tapaus lg5/lgx>-2 ja lisäksi lgx
näköjään vehje kun käyttää kärkisulkuja. Kokeillaan näin.
Toi kolmas voidaan muuttaa tommoseksi: |lg5/lgx|= pienempi kuin 2
Tutkitaan ensin tapaus lg5/lgx=pienempi kuin2, ja lisäksi lgx=suurempi kuin 0. Tuosta tulee lg5=pienempi kuin lgx^2, eli x^2=suurempi kuin 5, josta x=suurempi kuin sqrt5 (x oltava positiivinen)
Sitten tapaus lg5/lgx=suurempi kuin-2 ja lisäksi lgx=pienempi kuin 0. Tulee lg5=pienempi kuin lg(1/x^2), joten x^2=pienempi kuin1/5, eli 0=pienempi kuin x=pienempi kuin 1/sqrt5 (x oltava positiivinen).
Koko vastaus: 0=pienempi kuin x=pienempi kuin 1/sqrt5, tai x=suurempi kuin sqrt5
kolmosen b menee samalla lailla, ja tulee x on suurempi tai yhtäsuuri kuin -7/4
a nelosessa cosx:n paikalle sqrt(1-sin^(x)) ja siirretään termejä niin, että toiselle puolelle jää vain neliöjuurilauseke ja korotetaan toiseen. Tulee sinx(sinx 1)=0
b nelosessa luulen, että kyse on kuitenkin: cos^2(x)-sin^2(x)=1, cos^2(x):n paikalle 1-sin^2(x).
Tulee sin(x)=0
c nelosessa voidaan ottaa aina tekijäksi cos^2(x) sin(2)x, ja se kun on 1, niin tehtävä palautuu loppujen lopuksi b neloseksi
b kohta on väärin. Siitähän tulee logaritmin kantaluvun vaihtosäännöllä: lg(x 2)/lg(0.5)=suurempi tai yhtäsuuri kuin 2.
lg(0.5) on kuitenkin negatiivinen luku (noin -0.3), joten sillä kerrottaessa suurempi merkki kääntyy pienemmäksi ja tulee:
lg(x 2)=pienempi tai yhtäsuuri kuin 2*lg(1/2)=lg((1/2)^2)=lg(1/4).
x 2=pienempi tai yhtäsuuri kuin 1/4, joten x=pienempi tai yhtäsuuri kuin -7/4.
x 2 on kuitenkin oltava positiivinen, joten x on oltava suurempi kuin -2, joten vastaus on, että x on suurempi kuin -2, mutta pienempi tai yhtäsuuri kuin -7/4.
(Vaikeita tehtäviä, mitähän nämä oikein on).
( cos(x)=sqrt(1-sin^2(x)), tämäkin on heti seuraavassa lauseessa vähän puutteellinen)
lisää:
1) Ratkaise yhtälöt a) tan2x = 2sinx b) 3(sinx)^2 tanxtan2x = 0
2) Laske cos2x yhtälöstä 4(cosx)^4 4(sinx)^2 -3 = a . Ratkaise yhtälö, kun a = 1/4
3) ratkaise yhtälö tanx - (tanx)^3 (tanx)^5 - (tanx)^7 .... = 1/3
4) ratkaise epäyhtälö (2sinx tanx)/3 > sinx. Merkitse ratkaisu graafisesti näkyviin yksikköympyrään
.
Yliopistomatikkaa nämä siis. Jos ette jaksa alkaa ratkaisemaan kokonaan niin joku vinkki millä pääsen alkuun olisi kiva :)
En tarkistele enkä funtsaa näitä, mutta tässä on jotakin
1a ) 2sinxcosx/cos2x=2sinx ja sitten cos2x:n paikalle 2cos^2x-1. Tulee toisen asteen yhtälö cosx:lle.
1b) 3sin^2x (sinx/cosx)(sin2x/cos2x)=0=>3sin^2x (sinx/cosx)(2sinxcosx/cos2x)=0=>
3sin^2x (2sin^2x/(1-sin^2x))=0. Tulee kai: sin^2x(5-6sin^2x)=0
2) Tuo vasen puoli on cos(2x)^2, koska cos2x=2cos^2x-1 ja sen kun korottaa toiseen, niin tuo tulee
3) Suppenevan geometrisen sarjan summa on a/(1-q) ja tässä summa on 1/3, a=tanx ja q=-tan^2x
Tulee toisen asteen yhtälö tangentille
1b) alarivi pitää olla 3sin^2x ((2sin^2x)/(1-2sin^2x))=0, loppu on kyllä oikein
helposti muotoon: tanx>sinx. Yksikköympyrän ekassa ja kolmannessa neljänneksessä näin on
pitää muuttaa se näin: (sinx/cosx)-sinx > 0=> sinx*((1-cosx)/cosx)) > 0
sinx on positiivinen ekassa ja tokassa neljänneksessä, ja tuo jälkimmäinen ekassa ja neljännessä, joten niiden tulo on positiivinen ekassa ja kolmannessa.